خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تقریب خطی (Linear Approximations)

تقریب خطی (Linear Approximations)
نویسنده : امیر انصاری
از آنجا که توابع معمولی به صورت موضعی خطی (linear) می باشند ـــ و اگر بر روی آنها بیشتر بزرگنمایی کنید، راست تر به نظر می آیند ـــ یک خط مماس بر یک تابع یک تقریب خوب از آن تابع نزدیک نقطۀ تماس می باشد. شکل 3-13 نمودار \(f(x)=\sqrt{x}\) و یک خط مماس بر آن تابع را در نقطۀ \((9,3)\) نشان می دهد. شما می توانید ببینید که نزدیک \((9,3)\)، این منحنی و خط مماس، تقریباً غیر قابل تمایز هستند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تقریب خطی (Linear Approximations)
تعیین معادلۀ این خط تانژانت کار آسانی است. شما یک نقطه دارید، \((9,3)\)، و شیب با مشتق \(f\) در \(9\) بدست می آید:
$$f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \\
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6}$$
حالا فقط این شیب (این مشتق)، \(\frac{1}{6}\)، و نقطۀ \((9,3)\) را بگیرید، و آنها را در فرمول نقطه-شیب (point-slope form) جایگذاری کنید:
$$y-y_1=m(x-x_1) \\
y-3=\frac{1}{6}(x-9) \\
y=3+\frac{1}{6}(x-9)$$
این معادلۀ خط مماس بر \(f(x)=\sqrt{x}\) در \((9,3)\) می باشد. من گمان می کنم شما با خودتان اندیشیده اید چرا من این معادله را به شکل \(y=3+\frac{1}{6}(x-9)\) نوشته ام. اگر \(3\) را در سمت راست \(\frac{1}{6}(x-9)\) قرار دهیم، طبیعی تر به نظر می آید، که البته صحیح نیز خواهد بود. و من می توانم این معادله را بیشتر ساده سازی کنم، و آن را در شکل \(y=mx+b\) بنویسم. در ادامۀ این بخش توضیح خواهم داد که چرا آن را به این شکل نوشتم.

اگر ماشین حساب نموداری تان دم دستتان است، نمودار \(f(x)=\sqrt{x}\) و نمودار این خط مماس را ترسیم کنید. بر روی نقطۀ \((9,3)\) چندین مرتبه بزرگنمایی کنید. همینطور که بزرگنمایی می کنید، خواهید دید که این منحنی راست تر و راست تر می گردد و این منحنی و خط مماس به یکدیگر نزدیکتر و نزدیکتر می گردند.

اکنون، فرض کنید می خواهید جذر \(10\) را تقریب بزنید. از آنجا که \(10\) به \(9\) کاملاً نزدیک است، و از آنجا که شما از روی شکل 3-13 می توانید ببینید که \(f(x)\) و خط مماس بر آن در \(x=10\) به یکدیگر نزدیک می باشند، مختصات \(y\) از این خط در \(x=10\) یک تقریب خوب از مقدار این تابع در \(x=10\)، یعنی \(\sqrt{10}\)، می باشد.

کافیست \(10\) را در معادلۀ این خط جایگذاری کنید تا تقریبتان را صورت دهید:
$$y=3+\frac{1}{6}(x-9) \\
=3+\frac{1}{6}(10-9) \\
=3+\frac{1}{6} \\
=3\frac{1}{6}$$
بدین ترتیب، جذر \(10\) در حدود \(3\frac{1}{6}\) می باشد. این فقط \(0.004\) بیشتر از مقدار دقیق آن یعنی \(3.1623...\) می باشد. خطای محاسباتی آن تقریباً یک دهم درصد است.

اکنون من می توانم توضیح دهم چرا معادلۀ این خط تانژانت را اینگونه نوشتم. این شکلِ نگارش انجام محاسبات را ساده تر می کند و درک آنچه که در هنگام یک تقریب روی می دهد را ساده تر می کند. در اینجا چرایی اش را می بینید. شما می دانید که این خط از نقطۀ \((9,3)\) عبور می کند. اینطور نیست؟ و می دانید که شیب این خط \(\frac{1}{6}\) است. بنابراین، می توانید در \((9,3)\) کار را آغاز کنید و همانطور که در شکل 4-13 نشان داده شده است، در امتداد این خط به شیوۀ پله به پله، به سمت راست (یا چپ) بروید: از این سو به آن سو \(1\)، بالا \(\frac{1}{6}\)؛ از این سو به آن سو \(1\)، بالا \(\frac{1}{6}\)؛ و به همین ترتیب. توجه داشته باشید از آنجا که \(\text{slope} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\)، هنگامی که \(\text{run}\) برابر با \(1\) باشد (همانطور که در شکل 4-13 نشان داده شده است)، \(\text{rise}\) برابر با شیب خواهد بود.

تقریب خطی (Linear Approximations)
بنابراین، هنگامی که یک تقریب را انجام می دهید، با یک مقدار \(y\) برابر با \(3\) آغاز می کنید و به ازاء هر \(1\) واحدی که رو به سمت راست می روید، \(\frac{1}{6}\) رو به بالا می روید. یا اگر به سمت چپ می روید، به ازاء هر \(1\) واحدی که رو به سمت چپ می روید، \(\frac{1}{6}\) به پایین می روید. هنگامی که معادلۀ خط در شکل بالا نوشته می شود، محاسبۀ یک تقریب مشابه این طرح پله-پله است.

شکل 4-13 مقادیر تقریب برای جذرهای \(7\)، \(8\)، \(10\)، \(11\)، \(12\) را نشان می دهد. به عنوان مثال، برای اینکه از \((9,3)\) به \(8\) برسید، \(1\) واحد به سمت چپ می روید، سپس \(\frac{1}{6}\) به پایین می روید تا به \(2\frac{5}{6}\) برسید؛ یا برای اینکه از \((9,3)\) به \(11\) برسید، \(2\) واحد به سمت راست می روید، سپس از آنجا \(\frac{2}{6}\) پایین می روید تا به \(3\frac{2}{6}\) یا \(3\frac{1}{2}\) برسید. اگر به اندازۀ \(\frac{1}{2}\) به سمت راست و \(9\frac{1}{2}\) بروید، نصف \(\frac{1}{6}\) یا \(\frac{1}{12}\) به سمت بالا می روید، تا به \(3\frac{1}{12}\) ، که جذر تقریبی \(9\frac{1}{2}\) است، برسید.

لیست زیر اندازۀ این خطاها برای تقریب های نمایش داده شده در شکل 4-13 را نشان می دهد. توجه داشته باشید که این خطاها همینطور که از نقطۀ تماس، \((9,3)\)، دور می شوید، رشد می کنند. همچنین این خطاها در هنگام پایین رفتن از \(9\) به \(8\) و سپس \(7\) و ... ، نسبت به بالا رفتن از \(9\) به \(10\)، سپس \(11\) و ...، سریعتر رشد می کنند؛ در یک تقریب خطی، معمولاً خطاها در یک جهت سریعتر از جهت دیگر رشد می کنند، و این به دلیل شکل منحنی است.
$$
\sqrt{7}: 0.8 \% \text{ error} \\
\sqrt{8}: 0.2 \% \text{ error} \\
\sqrt{10}: 0.1 \% \text{ error} \\
\sqrt{11}: 0.5 \% \text{ error} \\
\sqrt{12}: 1.0 \% \text{ error}
$$
معادلۀ تقریب خطی (Linear approximation equation): در اینجا شکل کلی معادلۀ یک خط تانژانت که برای یک تقریب خطی مورد استفاده قرار می دهید، را می بینید. مقادیر یک تابع \(f(x)\) می تواند با مقادیر خط تانژانت \(l(x)\) در نزدیکی نقطۀ تماس \((x_0,f(x_0))\) تقریب زده شوند، که در آن:
$$l(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

این ساده تر از چیزی است که به نظر می آید. آن صرفاً یک نسخۀ خوش تیپ شده در حسابان، از معادلۀ خط در شکل نقطه-شیب (point-slope equation) می باشد که شما از جبر 1 آن را می دانید، \(y-y_1=m(x-x_1)\)، که در آن \(y_1\) به سمت راست منتقل شده است:
$$y=y_1+m(x-x_1)$$
این معادله و معادلۀ \(l(x)\) تنها در نمادهای مورد استفاده متفاوتند؛ معنای هر دو معادله ـــ جمله به جمله ـــ یکسان هستند. و توجه داشته باشید که چگونه هر دوی آنها شبیه معادلۀ خط تانژانت در شکل 4-13 می باشند.

در جستجوی ارتباطات جبر-حسابان و هندسه-حسابان باشید. هرگاه که ممکن باشد، سعی کنید تا مفاهیم اصلی جبر یا هندسه را در قلب مفاهیم با ظاهر فانتزیِ حسابان ببینید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.