خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


انتگرال گیری (Integration)

انتگرال گیری (Integration)
نویسنده : امیر انصاری
از آنجا که هنوز مشغول مطالعۀ این کتاب هستید، من فرض می گیرم که از مشتق گیری (فصل های 9 تا 13) جان سالم بدر برده اید. اکنون دومین موضوع اصلی در حسابان را آغاز می کنید: انتگرال گیری. درست مانند دو مفهوم ساده که در قلب مشتق گیری قرار گرفته اند ـــ نرخ (مانند مایل بر ساعت) و تندی یا شیب یک منحنی ـــ انتگرال گیری نیز می تواند به لحاظ دو مفهوم ساده درک شود ـــ جمع کردن قطعات کوچک چیزی و مساحت زیر یک منحنی. در این فصل، شما را با این دو مفهوم بنیادی آشنا می سازم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



انتگرال گیری


چراغ موجود در سمت چپ شکل 1-14 را در نظر بگیرید. فرض کنید می خواهید حجم پایۀ این چراغ را حساب کنید. چرا می خواهید این کار را انجام بدهید؟ من هم نمی دانم! در هر صورت، برای محاسبۀ حجم چنین شکل عجیبی فرمولی وجود ندارد، بنابراین شما نمی توانید این حجم را مستقیماً حساب کنید.

با این حال، می توانید این حجم را با استفاده از انتگرال گیری محاسبه کنید. تصور کنید که این پایه به تکه های باریک افقی، همانطور که در سمت راستِ شکل 1-14 نشان داده شده است، بریده شده باشد.

انتگرال گیری (Integration)
آیا می توانید ببینید که هر برش به شکل یک پنکیک باریک می باشد؟ اکنون، از آنجا که برای محاسبۀ حجم پنکیک (یک پنکیک صرفاً یک استوانۀ خیلی کوتاه می باشد) فرمولی وجود دارد، شما می توانید حجم کل این پایه را به سادگی با محاسبۀ حجم هر برش پنکیک شکل و سپس جمع زدن این حجمها با یکدیگر، بدست آورید. این انتگرال گیری به طور خلاصه می باشد.

اما، مسلماً اگر کل انتگرال گیری همین باشد، اینهمه هیاهو در مورد آن نخواهد بود ـــ مطمئناً این برای قرار دادن نیوتون (Newton)، لایبنیتز (Leibnitz)، و سایر ستاره های دیگر در تالار مشاهیر ریاضی کفایت نمی کند. چیزی که انتگرال گیری را به یکی از دستاوردهای عالی در تاریخ ریاضیات تبدیل کرده، اینستکه ـــ با در نظر گرفتن مثال حجم پایۀ چراغ ـــ مقدار دقیق حجم پایۀ این چراغ را با بریدن آن به تعداد بی نهایت از تکه های بی نهایت باریک، به شما می دهد. حالا این شد یه چیزی. اگر این چراغ را به تعداد کمتری از بی نهایت تکه برش دهید، شما صرفاً به یک تقریب خوب از مجموع حجم آن دست می یابید ـــ نه پاسخ دقیق ـــ زیرا هر تکۀ پنکیک-شکل دارای یک منحنی با لبه های دارای شکلی عجیب خواهد بود که می تواند در هنگام محاسبۀ حجم آن برش با فرمول استوانه، منجر به خطاهای کوچکی گردد.

انتگرال گیری یک نماد برازنده و جذاب دارد: \(\int\) . شما احتمالاً قبلاً آن را دیده اید ـــ احتمالاً در یکی از آن کارتونهای که یک پروفسور در مقابل یک تخته سیاه مشغول پر کردن یک سری چیزهای غیرقابل کشف و نامفهوم است. بزودی، آن پروفسور شما خواهید بود. درست است: شما صفحاتی در دفتر کارتان را با معادلاتی که شامل نماد انتگرال گیری هستند، پر خواهید کرد. بینندگان شگفت زده خواهند شد و حسادت خواهند کرد.

شما می توانید به نماد انتگرال گیری، صرفاً به منزلۀ یک \(S\) کشیده شده که نشان دهندۀ جمع کردن (sum up) است، فکر کنید. بنابراین، در مورد مسالۀ چراغ، می توانید اینگونه بنویسید:
$$\int_{\text{bottom}}^{\text{top}} dB = B$$
که در آن \(dB\) به معنای اندکی از پایه ـــ در واقع یک تکۀ بی نهایت کوچک ـــ می باشد. بنابراین معنای این معادله صرفاً اینست که اگر تمامی تکه های کوچک پایۀ این چراغ را از پایین تا بالا با یکدیگر جمع بزنید، نتیجه برابر با \(B\)، یعنی حجم کل پایه، خواهد بود.

این اندکی بیش از حد ساده شده است ـــ من هم اکنون می توانم صدای آژیر پلیس ریاضی را بشنوم ـــ اما یک روش خوب برای فکر کردن در مورد انتگرال گیری است. راستی، فکر کردن به \(dB\) به عنوان یک تکه کوچک یا بی نهایت کوچک از \(B\)، مفهومی است که قبلاً در مشتق گیری (فصل 9) دیده اید، که در آن مشتق یا شیب، \(\frac{dy}{dx}\)، برابر با نسبت یک ذره از \(y\) به یک ذره از \(x\) می باشد (شکل 13-9 را ببینید). بنابراین، هم مشتق گیری و هم انتگرال گیری شامل بی نهایت کوچک ها می باشند.

بنابراین، هرگاه که چیزی شبیه این را می بینید:
$$\int_a^b \text{little piece of something}$$
صرفاً بدین معناست که شما تمامی تکه های کوچک (بی نهایت کوچک) از آن چیز را از \(a\) تا \(b\) با یکدیگر جمع می زنید تا به مجموع آن چیزها از \(a\) تا \(b\) برسید. یا ممکن است چیزی شبیه این را ببینید:
$$\int_{t=0 \text{ sec.}}^{t=20 \text{ sec.}} \text{ little piece of distance}$$
که بدین معناست که تکه های کوچک مسافت پیموده شده (distance traveled) بین \(0\) و \(20\) ثانیه (seconds) را جمع بزنید تا مجموع مسافت پیموده شده در طول این مدت زمان را بدست آورید.

عبارت ریاضی سمت راست این نماد مخفف اندکی از چیزی است، و انتگرال گیری چنین عبارتی بدین معناست که تمامی تکه های کوچک بین یک نقطۀ آغاز خاص و یک نقطۀ پایان خاص را جمع بزنید تا مجموع بین این نقاط را تعیین کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.