خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6140 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

تخمین مساحت با قانون ذوزنقه و قانون سیمپسون

تخمین مساحت با قانون ذوزنقه و قانون سیمپسون

کد مطلب : 6217 PDF

این بخش دو روش بیشتر برای تخمین مساحت زیر یک تابع را پوشش می دهد. اگر به دلایلی شما فقط یک تخمین را بخواهید و نه یک پاسخ دقیق ـــ شاید به این دلیل که در یک امتحان از شما این گونه خواسته اند ـــ شما می توانید از آنها استفاده کنید. اما این روش های تقریب و سایر روش هایی که ما بررسی کردیم به دلایل دیگری سودمند هستند. برخی از انواع توابع وجود دارند که در مورد آنها روش مساحت دقیق درست جواب نمی دهد. اینکه چرا اینطور است یا این نوع توابع دقیقاً کدام ها هستند، فراتر از محدودۀ این کتاب است، بنابراین در این مورد حرف من را قبول کنید. بنابراین، اگر با یکی از این توابع مواجه شدید، استفاده از یک روش تقریب ممکن است تنها انتخاب شما باشد.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

قانون ذوزنقه (trapezoid rule)


با قانون ذوزنقه، به جای اینکه مساحت را با مستطیل ها تقریب بزنید، این کار را با ذوزنقه ها انجام می دهید. شکل 9-14 را ببینید.

تخمین مساحت با قانون ذوزنقه و قانون سیمپسون
به دلیل شیوه ای که ذوزنقه ها این منحنی را در آغوش می گیرند، تخمین بسیار بهتری از مساحت را نسبت به مستطیل های چپ یا راست به شما می دهند. و معلوم می شود که یک تقریب ذوزنقه میانگین تقریب مستطیل راست و مستطیل چپ می باشد. آیا می توانید ببینید چرا اینطور است؟ (راهنما: مساحت یک ذوزنقه ـــ فرض بگیرید ذوزنقۀ 2 در شکل 9-14 ـــ میانگین مساحتهای دو مستطیل متناظرش در جمع های راست و چپ، یعنی مستطیل شمارۀ 2 در شکل 4-14 و مستطیل 2 در شکل 6-14 می باشد.)

جدول 4-14 تقریب های ذوزنقه برای مساحت زیر \(f(x)=x^2+1\) بین \(x=0\) و \(x=3\) را لیست کرده است.

تخمین مساحت با قانون ذوزنقه و قانون سیمپسون
از منظر شکل 9-14، ممکن است انتظار داشته باشید که یک تقریب ذوزنقه بهتر از یک تقریب نقطۀ میانی باشد، اما در واقع، به طور کلی، تقریب های نقطۀ میانی حدود دوبرابر بهتر از تقریب های ذوزنقه می باشند. شما می توانید با مقایسۀ جداول 3-14 و 4-14 این مطلب را تایید کنید. به عنوان مثال، شکل 3-14 تخمین مساحت \(11.9990\) را برای \(48\) مستطیل نقطۀ میانی نشان می دهد. این با مساحت اصلی \(12\) با \(0.001\) فرق می کند. مساحت تخمینی برای \(48\) ذوزنقه که در جدول 4-14 داده شده است، برابر با \(12.002\) می باشد، که با \(12\) دوبرابر بیشتر از آن مقدار فرق می کند.

یک تقریب ذوزنقه میانگین تقریب مستطیل چپ و تقریب مستطیل راست متناظرش می باشد. اگر هم اکنون یک تقریب مستطیل چپ و راست را برای یک تابع خاص و تعداد خاصی از مستطیل ها انجام داده باشید، می توانید صرفاً میانگین آنها را بگیرید تا تقریب ذوزنقۀ متناظرش را بدست آورید. اگر این کار را نکرده باشید، فرمولش را در اینجا می بینید:

قاعدۀ ذوزنقه (trapezoid rule): شما می توانید مساحت دقیق زیر یک منحنی بین \(x=a\) و \(x=b\)، یعنی \(\int_a^b f(x)dx\)، را با مجموع ذوزنقه ها با فرمول زیر بدست آورید. در حالت کلی، هرچقدر تعداد ذوزنقه ها بیشتر باشد، تخمین بهتر خواهد بود.
$$T_n = \frac{b-a}{2n} [f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+..........+2f(x_{n-1})+f(x_n)]$$

در این فرمول \(n\) تعداد ذوزنقه ها، \(\frac{b-a}{2n}\) نصف ارتفاع هر ذوزنقۀ یک وری شده، و \(x_0\) تا \(x_n\) برابر با \(n+1\) نقاط دارای فاصلۀ برابر از \(x=a\) تا \(x=b\) می باشند.

حتی با وجود اینکه تعریف رسمی انتگرال معین (definite integral) مبتنی بر جمع بی نهایت مستطیل می باشد، من ترجیح می دهم به انتگرال گیری به عنوان حد قاعدۀ ذوزنقه در بی نهایت فکر کنم. هرچقدر بر روی منحنی بیشتر زوم کنید، راست تر می گردد. هنگامیکه از تعداد بیشتر و بیشتری ذوزنقه استفاده می کنید و سپس بر روی محلی که این ذوزنقه ها منحنی را لمس می کنند زوم می کنید، بالای این ذوزنقه ها به این منحنی نزدیک و نزدیکتر می گردند. اگر این بزرگنمایی را به بی نهایت برسانید، بالای این بی نهایت ذوزنقه تبدیل به منحنی می شوند، و از اینرو جمع مساحتهای آنها مساحت دقیق زیر این منحنی را به شما می دهد. این یک روش خوب برای فکر کردن دربارۀ اینکه چرا انتگرال گیری مساحت دقیق را تولید می کند، می باشد و به لحاظ مفهومی معنادار است، اما در واقع به این شیوه انجام نمی شود.

قاعدۀ سیمپسون (Simpson’s rule)


حالا من واقعاً فانتزی شده ام و شکل هایی می کشم که به نوعی شبیه ذوزنقه هستند با این تفاوت که به جای داشتن بالای کج، دارای بالای منحنی و سهمی وار هستند. شکل 10-14 را ببینید.

تخمین مساحت با قانون ذوزنقه و قانون سیمپسون
توجه داشته باشید که با قانون سیمپسون هر ذوزنقه به جای یک بازه در دو بازه گسترده می شود؛ به عبارت دیگر، ذوزنقۀ شمارۀ \(1\) از \(x_0\) تا \(x_2\) می رود، ذوزنقۀ شمارۀ \(2\) از \(x_2\) تا \(x_4\) می رود، و به همین ترتیب. به این دلیل، جمع طول همیشه باید بر تعداد زوجی از بازه ها تقسیم گردد.

قاعدۀ سیمپسون با فاصلۀ زیاد نسبت به سایر قانونها، دقیق ترین روش تقریب است که در این فصل مورد بحث قرار گرفته است. در واقع، آن مساحت دقیق هر تابع چندجمله ایِ درجه سوم یا کمتر را به شما می دهد. در حالت کلی، قاعدۀ سیمپسون یک تخمین بسیار بهتر از قاعدۀ نقطۀ میانی یا قاعدۀ ذوزنقه را به شما می دهد.

شما می توانید از یک جمع نقطۀ میانی با یک جمع ذوزنقه استفاده کنید تا به یک جمع سیمپسون برسید. یک جمع قاعدۀ سیمپسون به نوعی میانگینی از یک جمع نقطۀ میانی و یک جمع ذوزنقه می باشد، با این استثناء که شما از جمع نقطۀ میانی دوبار در میانگین استفاده می کنید. بنابراین اگر هم اکنون جمع نقطۀ میانی و جمع ذوزنقه را برای تعداد معینی مستطیل/ذوزنقه داشته باشید، می توانید با میانگین سادۀ زیر تقریب قاعدۀ سیمپسون را بدست آورید:
$$S_{2n}=\frac{M_n+M_n+T_n}{3}$$
به زیرنویس \(2n\) توجه کنید. این بدین معناست که اگر شما، فرض بگیرید، \(M_3\) و \(T_3\) را مورد استفاده قرار دهید، به نتیجۀ \(S_6\) می رسید. اما \(S_6\)، که دارای شش بازه می باشد، تنها سه ذوزنقۀ منحنی دارد، زیرا هر کدام از آنها در دو بازه گسترده شده اند. بنابراین، فرمول بالا، همواره شامل تعداد مستطیل ها، ذوزنقه ها، و ذوزنقه های قاعدۀ سیمپسونِ یکسانی می باشند.

اگر جمع نقطۀ میانی و جمع ذوزنقه ها برای میانبر بالا را نداشته باشید، می توانید از فرمول زیر برای قاعدۀ سیمپسون استفاده کنید.

قاعدۀ سیمپسون (Simpson’s rule): شما می توانید مساحت دقیق زیر یک منحنی را بین \(x=a\) و \(x=b\)، یعنی \(\int_a^b f(x)dx\)، با جمع ذوزنقه هایی با بالای سهمی شکل، با فرمول زیر بدست آورید. در حالت کلی، هرچقدر تعداد این ذوزنقه ها بیشتر باشند، این تخمین بهتر خواهد بود.
$$S_n=\frac{b-a}{3n} [f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+..........+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$$
که در آن \(n\) دوبرابر تعداد ذوزنقه ها و \(x_0\) تا \(x_n\) برابر با \(n+1\) نقطۀ متساوی الفاصله از \(x=a\) تا \(x=b\) می باشد.

برای اینکه این فصل را به پایان ببریم، در اینجا هشداری در مورد توابعی داریم که زیر محور \(x\) می روند. من این نوع توابع را در این فصل نگنجاندم زیرا با خودم فکر کردم که شما به اندازۀ کافی چالش برای کنار آمدن با آنها دارید. در فصل 17 توضیحات کامل این نوع توابع را همراه با یک مثال خواهید دید.

مساحت های زیر محور \(x\) به عنوان مساحت های منفی در نظر گرفته می شوند. خواه اینکه مساحت ها را با مستطیل های راست، چپ، نقطۀ میانی، یا با قاعدۀ ذوزنقه یا سیمپسون، تخمین بزنید، یا اینکه با استفاده از انتگرال معین مساحت دقیق را محاسبه کنید، مساحت های زیر محور \(x\) و مساحت های بالای منحنی، به منزلۀ مساحت منفی در نظر گرفته می شوند.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟

دوره آموزشی رایگان حسابان 1