خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


یافتن ضدمشتق ها: سه تکنیک ساده

یافتن ضدمشتق ها: سه تکنیک ساده
نویسنده : امیر انصاری
من تاکنون در مورد ضدمشتق ها زیاد صحبت کرده ام، اما چگونه می توانید آنها را بیابید؟ در این بخش، سه تکنیک ساده به شما یاد می دهم. سپس، در فصل 16 چهار تکنیک پیشرفته به شما یاد می دهم. راستی، این چیزها در امتحانتان نیز می آید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



قوانین معکوس برای ضد مشتق ها


ساده ترین قانون های ضدمشتق آنهایی هستند که معکوس قوانین مشتق می باشند که هم اکنون می دانید. (اگر نیاز به یادآوری در مورد قوانین مشتق دارید، فصل 10 را دوباره مروری کنید.) اینها ضدمشتق های اتوماتیک و یک مرحله ای هستند به استثناء معکوس قانون توان، که فقط اندکی سخت تر است.

قوانین بدیهی معکوس


شما می دانید که مشتق \(\sin x\) برابر با \(\cos x\) می باشد، بنابراین معکوس کردن آن به شما می گوید که یک ضدمتشق از \(\cos x\) برابر با \(\sin x\) می باشد. چه چیزی می تواند از این ساده تر باشد؟ اما فراموش نکنید که تمامی توابع در شکل \(\sin x + C\) ضدمشتق هایی از \(\cos x\) می باشند. این مطلب را با نمادها به شکل زیر می نویسید:
$$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x $$
بنابراین:
$$\int \cos x \text{ } dx = \sin x + C$$
جدول 2-15 قوانین معکوس برای ضدمشتق ها را لیست کرده است.

یافتن ضدمشتق ها: سه تکنیک ساده

معکوس قانون توان، اندکی سخت تر


با قانون توان (power rule) برای مشتق گیری، شما می دانید که
$$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$$
و بنابراین:
$$\int 3x^2 dx = x^3 + C$$
در اینجا روش ساده برای معکوس کردن قانون توان را می بینید. از \(y=5x^4\) برای تابعتان استفاده کنید. بیاد بیاورید که قانون توان بیان می دارد:

  1. توان را به جلو بیاورید و آن در بقیۀ مشتق ضرب خواهد شد. $$5x^4 \to 4 \cdot 5x^4$$
  2. توان را یک واحد کم کنید و عبارت را ساده سازی نمایید. $$4 \cdot 5x^4 \to 4 \cdot 5x^3 = 20x^3$$
    بنابراین:
    $$y'=20x^3$$

برای معکوس کردن این فرآیند، ترتیب این دو مرحله و ترتیب عملیات ریاضی داخل آنها را معکوس می کنید. در اینجا چگونگی کارکرد آن را برای مسالۀ بالا می بینید:

  1. توان را یک واحد افزایش دهید.
    \(3\) به \(4\) تبدیل می شود.
    $$20x^3 \to 20x^4$$
  2. عبارت را بر توان جدید تقسیم کنید و ساده سازی نمایید. $$20x^4 \to \frac{20}{4}x^4 = 5x^4$$
    و بنابراین شما اینگونه می نویسید:
    $$\int 20x^3 dx = 5x^4 + C$$
معکوس قانون توان برای توانی از منفی یک درست جواب نمی دهد. قانون معکوس توان برای تمام توانها ، شامل توانهای منفی و توانهای اعشاری، به استثناء توان منفی یک درست جواب می دهد. به جای استفاده از معکوس قانون توان، شما صرفاً باید بخاطر داشته باشید که ضدمشتق \(x^{-1}\) برابر با \(\ln |x| + C\) می باشد (قانون 3 در جدول 2-15).

ضدمشتق هایتان را با مشتق گیری آنها درست آزمایی کنید. مخصوصاً زمانیکه در ضدمشتق گیری تازه کار هستید، ایدۀ خوبی است که ضدمشتق هایتان را با مشتق گیری آنها درست آزمایی نمایید ـــ شما می توانید \(C\) را نادیده بگیرید. اگر به تابع اصلی تان بازگردید، خواهید دانست که ضدمشتق شما صحیح می باشد.

با ضدمشتقی که اندکی پیش یافتید و با نسخۀ میانبر قضیۀ اساسی حسابان، شما می توانید مساحت زیر \(20x^3\) بین، فرضاً \(1\) و \(2\) را بیابید:
$$\int 20x^3 dx = 5x^4 + C$$
بنابراین:
$$\int_1^2 20x^3 dx = [5x^4]_1^2 \\
=5 \cdot 2^4 - 5 \cdot 1^4 \\
= 80 - 5 \\
= 75$$

حدس زدن و چک کردن


روش حدس زدن و چک کردن (guess-and-check method) هنگامی درست جواب می دهد که تابع زیر انتگرال (integrand) ـــ انتگراند یا تابع زیر انتگرال عبارتی است که بعد از نماد انتگرال قرار دارد و شامل \(dx\) نمی باشد، و چیزی است که شما می خواهید ضدمشتقش را بدست آورید ـــ به تابعی نزدیک باشد که شما قانون معکوس آن را می دانید. به عنوان مثال، فرض کنید ضد مشتق \(\cos (2x)\) را می خواهید. خوب، شما می دانید که مشتق سینوس برابر با کسینوس می باشد. معکوس کردن این به شما می گوید که ضدمشتق کسینوس برابر با سینوس می باشد. بنابراین ممکن است با خودتان بیندیشید که ضدمشتق \(\cos(2x)\) برابر با \(\sin(2x)\) می باشد. این حدس (guess) شما است. اکنون با مشتق گیری آن چک کنید (check) که آیا تابع اصلی، \(\cos (2x)\) را بدست می آورید:
$$\frac{d}{dx} \sin(2x) \\
= \cos (2x) \cdot 2 \\
= 2 \cos (2x)$$
(در این مشتق گیری از قاعدۀ سینوس و قاعدۀ زنجیری استفاده شده است.)

این نتیجه، به جز آن ضریب اضافی \(2\)، به تابع اصلی بسیار نزدیک می باشد. به عبارت دیگر، پاسخ دو برابر چیزی است که شما می خواهید. از آنجا که شما نتیجه ای را می خواهید که نصف این می باشد، کافیست ضدمشتقی را امتحان کنید که نصف حدس اولتان باشد: بنابراین حدس جدید شما \(\frac{1}{2} \sin (2x)\) می باشد. این حدس دوم را با مشتق گیری آن چک کنید و به نتیجۀ مطلوب خواهید رسید.

در اینجا مثال دیگری داریم. ضد مشتق تابع زیر را بیابید:
$$(3x-2)^4$$
  1. ضدمشتق را حدس بزنید.
    این به نوعی شبیه یک مسالۀ قانون توان است، بنابراین معکوس قانون توان را بیازمایید. ضد مشتق \(x^4\) با معکوس قانون توان، برابر با \(\frac{1}{5}x^5\) می باشد، بنابراین حدس شما \(\frac{1}{5}(3x-2)^5\) می باشد.

  2. پاسختان را با مشتق گیری درست آزمایی کنید. $$\frac{d}{dx} \biggl[ \frac{1}{5}(3x-2)^5 \biggr] \\
    = 5 \cdot \frac{1}{5} (3x-2)^4 \cdot 3 \\
    = 3 (3x-2)^4$$
    برای بدست آوردن این مشتق از قاعدۀ توان (power rule) و قاعدۀ زنجیری (chain rule) استفاده شده است.

  3. حدس اولتان را تغییر دهید.
    نتیجۀ شما، \(3(3x-2)^4\) سه برابر بیشتر از حدس اولتان است، بنابراین حدس دومتان را یک سوم حدس اولتان بگیرید:
    $$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}(3x-2)^5 = \frac{1}{15}(3x-2)^5$$
  4. حدس دومتان را با مشتق گیری آن درست آزمایی کنید. $$\frac{d}{dx} \biggl[ \frac{1}{15} \cdot (3x-2)^5 \biggr] \\
    = 5 \cdot \frac{1}{15} (3x-2)^4 \cdot 3 \\
    = (3x-2)^4$$
    (این مشتق با استفاده از قاعدۀ توان و قاعدۀ زنجیری بدست آمده است.)
    درست آزمایی با موفقیت انجام شد. کار تمام است. ضد مشتق \((3x-2)^4\) برابر با \(\frac{1}{15}(3x-2)^5 + C\) می باشد.

دو مثال اخیر نشان دادند هنگامی که تابع مورد نظرتان برای ضدمشتق گیری به جای یک \(x\) ساده، دارای آرگومانی مانند \(3x\) یا \(3x+2\) باشد که در آن \(x\) به توان اول رسیده باشد، روش حدس و چک کردن بخوبی جواب می دهد. (بیاد بیاورید که در تابعی مانند \(\sqrt{5x}\)، به \(5x\) آرگومان (argument) می گویند.) در این مورد، تمام کاری که باید انجام دهید اینست که حدستان را با کسرمتقابل (reciprocal) ضریب \(x\) تغییر دهید: به عنوان مثال، \(3\) در \(3x+2\) (\(2\) در \(3x+2\) هیچ تاثیری بر روی پاسخ شما ندارد). در واقع، برای این مسأله های ساده، شما واقعاً مجبور نیستید که هیچ حدس زدن و چک کردنی را انجام دهید. شما می توانید فوراً متوجه شوید که چگونه حدستان را تغییر دهید. آن به نوعی یک فرآیند تک مرحله ای می باشد. اگر آرگومان تابع مورد نظر پیچیده تر از \(3x+2\) باشد ـــ مانند \(x^2\) در \(\cos (x^2)\) ـــ شما مجبور خواهید شد از روش بعدی، یعنی روش جایگزینی (substitution method) استفاده کنید.

روش جایگزینی (substitution method)


اگر به مثالهای روش حدس و چک کردن در بخش قبلی بازگردید، خواهید دید که چرا اولین حدس در هر بخش درست کار نمی کند. هنگامی که یک حدس را مشتق گیری می کنید، قاعدۀ زنجیری یک ثابت اضافی تولید می کند: \(2\) در مثال اول و \(3\) در مثال دوم. سپس شما حدس را با \(\frac{1}{2}\) یا \(\frac{1}{3}\) تغییر می دهید تا این ثابت اضافی را جبران کنید.

حالا فرض کنید ضدمشتق \(\cos (x^2)\) را می خواهید و حدس می زنید که برابر با \(\sin(x^2)\) باشد. ببینید وقتیکه \(\sin (x^2)\) را مشتق گیری می کنید تا آن را درست آزمایی نمایید چه اتفاقی می افتد:
$$\frac{d}{dx} \sin(x^2) \\
= \cos (x^2) \cdot 2x \\
= 2x \cos(x^2)$$
(این مشتق با استفاده از قاعدۀ توان و قاعدۀ زنجیری بدست آمده است.)

در اینجا قاعدۀ زنجیری یک \(2x\) اضافی تولید می کند ـــ زیرا مشتق \(x^2\) برابر با \(2x\) است ـــ اما اگر بخواهید این را با متصل کردن \(\frac{1}{2x}\) به حدستان جبران کنید، درست کار نخواهد کرد. خودتان امتحان کنید.

بنابراین، حدس زدن و چک کردن برای ضدمشتق گیریِ \(\cos (x^2)\) جواب نمی دهد ـــ در واقع هیچ روشی برای این انتگراند (integrand) به ظاهر ساده جواب نمی دهد (همۀ توابع دارای ضدمشتق نمی باشند) ـــ اما تلاش قابل تحسین شما در مشتق گیری آن یک کلاس جدید از توابع را آشکار می سازد که شما می توانید آنها را مشتق گیری نمایید. از آنجا که مشتق \(\sin (x^2)\) برابر با \(2x \cos (x^2)\) می باشد، ضدمشتق \(2x \cos (x^2)\) باید \(\sin (x^2)\) باشد. این تابع، \(2x \cos(x^2)\)، نوعی از توابع است که شما می توانید آن را با روش جایگزینی ضدمشتق گیری نمایید.

چشمانتان را باز کنید و مراقب مشتق آرگومان تابع باشید. روش جایگزینی هنگامی درست کار می کند که انتگراند (تابع زیر انتگرال) شامل یک تابع و مشتق آرگومان آن تابع باشد ـــ به عبارت دیگر، هنگامی که شامل چیز اضافی تولید شده با قاعدۀ زنجیری باشد ـــ یا چیزی که درست مانند آن باشد به استثناء یک ثابت. و انتگراند نباید شامل هیچ چیز اضافی باشد.

مشتق \(e^{x^3}\) با استفاده از قاعدۀ \(e^x\) و قاعدۀ زنجیری، برابر با \(e^{x^3} \cdot 3x^2\) می باشد. بنابراین، ضدمشتق \(e^{x^3} \cdot 3x^2\) برابر \(e^{x^3}\) می باشد. و اگر از شما خواسته شده بود که ضدمشتق \(e^{x^3} \cdot 3x^2\) را بیابید، خواهید دانست که روش جایگزینی درست کار خواهد کرد زیرا این عبارت شامل \(3x^2\) می باشد، که مشتق آرگومان \(e^{x^3}\)، یعنی \(x^3\) است.

در حال حاضر، شما احتمالاً با خودتان می اندیشید چرا به این روش جایگزینی می گویند. در روش گام به گام زیر، چرایی آن را به شما می گویم. اما در ابتدا، می خواهم به شما اشاره کنم که شما همیشه مجبور نیستید از این روش گام به گام استفاده کنید. فرض کنید شما درک کرده اید چرا ضدمشتق \(e^{x^3} \cdot 3x^2\) برابر با \(e^{x^3}\) است، شما ممکن است با مسأله هایی مواجه شوید که در آنها بدون انجام هیچ کاری، صرفاً ضدمشتق را می بینید. اما چه بخواهید و چه نخواهید که فقط پاسخ مسأله هایی این چنینی را ببینید، روش جایگزینی تکنیک خوبی برای یادگیری می باشد، زیرا به یک دلیل، آن کاربردهای زیادی در حسابان و سایر حوزه های ریاضیات دارد، و به دلیل دیگر اینکه، معلم شما ممکن است شما را ملزم کند که آن را بدانید و استفاده کنید. اوکی، در اینجا چگونگی یافتن ضدمشتق زیر را با استفاده از روش جایگزینی می بنید:
$$\int 2x \cos (x^2) dx$$
  1. \(u\) را برابر با آرگومان تابع اصلی قرار دهید.
    آرگومان \(\cos (x^2)\) برابر با \(x^2\) می باشد، بنابراین \(u\) را برابر با \(x^2\) قرار دهید.

  2. مشتق \(u\) را با توجه به \(x\) بدست آورید. $$u=x^2$$
    بنابراین:
    $$\frac{du}{dx} = 2x$$
  3. آن را برای بدست آوردن \(dx\) حل کنید. $$\frac{du}{dx} = \frac{dx}{1} \\
    du = 2x dx \\
    \frac{du}{2x} = dx$$
    (در خط دوم عملیات ریاضی بالا از عملیات طرفین وسطین کردن استفاده کرده ایم و در خط سوم هر دو سمت معادله را بر \(2x\) تقسیم کرده ایم.)

  4. جایگزینی ها را انجام دهید.
    در \(\int 2x \cos(x^2) dx\)، \(u\) جایگزین \(x^2\) و \(\frac{du}{2x}\) جایگزین \(dx\) می شود. بنابراین به \(\int 2x \cos u \frac{du}{2x}\) . این دو \(2x\) همدیگر را حذف می کنند و نتیجۀ \(\int \cos \text{u} \text{ du}\) را به شما می دهد.

  5. با استفاده از قاعدۀ معکوس ساده، ضدمشتق گیری کنید. $$\int \cos u \text{ du} = \sin u + C$$
  6. مجدداً \(x^2\) را جایگزین \(u\) کنید، تا به وضعیت اولیه بازگردید.
    \(u\) برابر با \(x^2\) می باشد، بنابراین \(x^2\) جایگزین \(u\) می شود:
    $$\int \cos u \text{ du} = \sin(x^2)+C$$
    تمام شد. بنابراین:
    $$\int 2x \cos(x^2) dx = \sin(x^2)+C$$
اگر مسالۀ اصلی به جای \(\int 2x \cos(x^2)dx\) برابر با \(\int 5x \cos(x^2)dx\) می بود، شما مراحل یکسانی را دنبال می کردید با این استثناء که در مرحلۀ 4 ، بعد از انجام جایگزینی، به \(\int 5x \cos u \frac{dx}{2x}\) می رسیدید. \(x\) ها همچنان یکدیگر را حذف می کنند ـــ این چیز مهمش است ـــ اما بعد از اینکه همدیگر را حذف کردند شما به نتیجۀ \(\int \frac{5}{2} \cos u \text{ du}\) می رسیدید، که آن \(\frac{5}{2}\) اضافی را دارد. نگران نباشید. صرفاً آن \(\frac{5}{2}\) را از نماد \(\int\) بیرون بکشید، که نتیجۀ \(\frac{5}{2} \int \cos u \text{ du}\) را به شما می دهد. اکنون شما این مسأله را با کاری که اندکی پیش در مراحل 5 و 6 انجام دادید، تمام می کنید، به استثناء آن \(\frac{5}{2}\) اضافی:
$$\frac{5}{2} \int \cos u \text{ du} = \frac{5}{2} (\sin u+C) \\
= \frac{5}{2} \sin u + \frac{5}{2} C \\
= \frac{5}{2} \sin(x^2) + \frac{5}{2} C$$
از آنجا که \(C\) یک ثابت معمولی می باشد، \(\frac{5}{2}C\) هنوز هم یک ثابت معمولی است، بنابراین می توانید از شر آن \(\frac{5}{2}\) که در برابر \(C\) قرار دارد، خلاص شوید. این ممکن است قدری ناخوشایند و غیر ریاضی وار به نظر آید، اما صحیح است. بنابراین، پاسخ نهایی شما \(\frac{5}{2} \sin (x^2)+C\) می باشد. شما باید این را با مشتق گیری درست آزمایی کنید.

در اینجا چند مثال از ضدمشتق هایی که می توانید آنها را با روش جایگزینی انجام بدهید وجود دارد تا شما بتوانید بیاموزید چگونه آنها را تشخیص بدهید:

  • $$\int 4x^2 \cos(x^3)dx$$
    مشتق \(x^3\) برابر با \(3x^2\) می باشد، اما شما نباید به این \(3\) در \(3x^2\) یا این \(4\) در انتگراند (تابع زیر انتگرال) هیچ توجهی کنید. از آنجا که این انتگراند شامل \(x^2\) و نه چیز اضافیِ دیگری می باشد، جایگزینی درست جواب می دهد. امتحان کنید.

  • $$\int 10 \sec^2 x \cdot e^{\tan x} dx$$
    این انتگراند شامل تابعِ \(e^{\tan x}\) و مشتق آرگومان آن \((\tan x)\) ـــ که \(\sec^2 x\) است ـــ می باشد. از آنجا که این انتگراند شامل هیچ چیز دیگری نمی باشد (به جز \(10\) که مهم نیست)، جایگزینی درست جواب می دهد. انجامش دهید.

  • $$\int \frac{2}{3} \cos x \sqrt{\sin x} \text{ dx}$$
    از آنجا که این انتگراند شامل مشتق \(\sin x\)، یعنی \(\cos x\)، می باشد، و هیچ چیز دیگری به جز \(\frac{2}{3}\) در آن نیست، جایگزینی جواب می دهد. هر کاری که لازم است انجام دهید.

شما می توانید این سه مسأله را که اندکی پیش لیستش را دیدید، با روشی که جایگزینی و حدس و چک کردن را ترکیب می کند، انجام دهید (مشروط بر اینکه معلم شما اصراری بر ارائۀ روش جایگزینی شش مرحله ای نداشته باشد). سعی کنید تا با استفاده از این روش ترکیبی، مثال اول، \(\int 4x^2 \cos (x^3) dx\)، را ضدمشتق گیری کنید. ابتدا شما تایید می کنید که این انتگرال در الگوی جایگزینی می گنجد ـــ همانطور که در چک لیست آیتم اول اشاره شد، در الگوی جایگزینی می گنجد. این تایید تنها بخشی از روش جایگزینی است که در روش ترکیبی نقش ایفا می کند. اکنون با روش حدس و درست آزمایی مسأله را به پایان می رسانید:

  1. حدستان را بزنید.
    ضدمشتق کسینوس، سینوس می باشد، بنابراین یک حدس خوب برای ضدمشتق \(4x^2 \cos(x^3)\)، \(\sin (x^3)\) می باشد.

  2. حدستان را با مشتق گیری آن درست آزمایی کنید. $$\frac{d}{dx} \sin (x^3)=\cos (x^3) \cdot 3x^2 \\
    = 3x^2 \cos(x^3)$$
    (این مشتق گیری با استفاده از قاعدۀ سینوس و قاعدۀ زنجیری انجام شده است.)

  3. حدستان را تغییر دهید.
    نتیجۀ بدست آمده از مرحلۀ 2، یعنی \(3x^2 \cos(x^3)\) ، برابر با \(\frac{3}{4}\) از چیزی است که شما می خواهید، بنابراین حدستان را \(\frac{4}{3}\) بزرگتر کنید (توجه کنید که \(\frac{4}{3}\) کسرمتقابل \(\frac{3}{4}\) می باشد). بنابراین حدس دوم شما \(\frac{4}{3} \sin (x^3)\) می باشد.

  4. این حدس دوم را با مشتق گیری آن درست آزمایی نمایید.
    نتیجۀ درست آزمایی صحیح می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.