خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


یافتن مساحت با مسأله های جایگزینی

یافتن مساحت با مسأله های جایگزینی
نویسنده : امیر انصاری
شما می توانید از نسخۀ میانبر قضیۀ اساسی حسابان برای محاسبۀ مساحت زیر یک تابع که آن را با روش جایگزینی ایجاد کرده اید، استفاده کنید. شما می توانید این کار را به دو روش انجام دهید. در بخش پیشین من از جایگزینی استفاده نمودم، \(u\) را برابر با \(x^2\) قرار دادم، تا ضدمشتق \(2x \cos (x^2)\) را بیابم:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
$$\int 2x \cos(x^2) dx = \sin(x^2) + C$$


اگر مساحت زیر این منحنی، فرضاً از \(0.5\) تا \(1\) را می خواهید، قضیۀ اساسی حسابان ترفند این کار می باشد:
$$\int_{0.5}^1 2x \cos(x^2) dx=\biggl[\sin(x^2) \biggr]_{0.5}^1 \\
= \sin(1^2) - \sin (0.5^2) \\
= \sin(1) - \sin(0.25) \\
\approx 0.841 - 0.247 \\
\approx 0.594$$
روش دیگر، که منجر به نتیجۀ یکسانی می شود، اینست که حدهای انتگرال گیری را تغییر دهید و کل مسأله را به لحاظ \(u\) حل کنید. به راه حل شش مرحله ای در بخش "روش جایگزینی" در همین فصل مراجعه کنید. آنچه در ادامه می آید بسیار مشابه آن است، به استثناء اینکه این بار شما انتگرال معین را انجام می دهید و نه انتگرال نامعین. دوباره، شما مساحت داده شده با \(\int_{0.5}^1 2x \cos(x^2)dx\) را می خواهید:

  1. \(u\) را برابر با \(x^2\) قرار دهید.
  2. مشتق \(u\) را به لحاظ \(x\) بدست آورید. $$\frac{du}{dx}=2x$$
  3. آن را برای بدست آوردن \(dx\) حل کنید. $$dx=\frac{du}{2x}$$
  4. حدهای جدید انتگرال گیری را تعیین کنید.
    \(u=x^2\) ، پس هنگامیکه \(x=\frac{1}{2}\) باشد، \(u=\frac{1}{4}\)
    و هنگامیکه \(x=1\) باشد، \(u=1\)
  5. جایگزینی ها، شامل حدهای جدید برای انتگرال گیری، را انجام دهید، و \(2x\) را با یکدیگر خط بزنید.
    (در این مسأله، تنها یکی از حدها جدید می باشد، زیرا هنگامیکه \(x=1\) است، \(u=1\) .)
    $$
    \int_{0.5}^1 2x \cos(x^2) dx = \int_{0.25}^1 2x \cos u \frac{du}{2x} \\
    \int_{0.25}^1 \cos u \text{ } du
    $$
  6. از ضدمشتق و قضیۀ اساسی حسابان استفاده کنید تا بدون بازگشت به \(x^2\)، مساحت مطلوب را بدست آورید. $$\int_{0.25}^1 \cos u \text{ } du = \biggl[ \sin u \biggr]_{0.25}^1 \\
    =\sin 1 - \sin 0.25 \\
    \approx 0.594$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.