انتگرال های مثلثاتی مهارت آمیز

در این بخش، شما توان هایی از شش تابع مثلثاتی، مانند $\int \sin^3 (x)dx$ و $\int \sec^4 (x)dx$، و حاصلضرب یا خارج قسمت هایی از توابع مثلثاتی متفاوت، مانند $\int \sin^2 (x) \cos^3(x)$ و $\int \frac{\csc^2 (x)}{\cot (x)} dx$، را انتگرال گیری می کنید. این کاملاً خسته کننده است ـــ وقتش است یک دابل اسپرسو بزنید.

برای استفاده از تکنیک های زیر، شما یا باید انتگراندی داشته باشید که شامل یکی از این شش تابع مثلثاتی باشد، مانند $\int \csc^3(x) dx$، یا جفت های خاصی از توابع مثلثاتی، مانند $\sin^2 (x) \cos(x) dx$، را داشته باشید. اگر انتگراند (تابع زیر انتگرال) مربوطه دو تابع مثلثاتی داشته باشد، این دو تابع باید یکی از این سه جفت باشند: سینوس با کسینوس، سکانت با تانژانت، یا کسکانت با کتانژانت. اگر انتگراندی داشته باشید که شامل چیزی غیر از این سه جفت باشد، می توانید به سادگی با استفاده از اتحادهای مثلثاتی (trig identities) ، مانند $\sin(x)=\frac{1}{\csc(x)}$ و $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$، آنها را به یکی از این سه جفت تبدیل کنید. به عنوان مثال:
$$\int \sin^2(x) \sec (x) \tan(x) dx \\
= \int \sin^2 (x) \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx \\
= \int \frac{\sin^3 (x)}{\cos^2 (x)} dx$$
بعد از انجام دادن هر تبدیل مورد نیاز، شما می خواهید یکی از سه مورد زیر را بدست آورید:
$$\int \sin^m(x) \cos^n(x) dx \\
\int \sec^m(x) \tan^n(x) dx \\
\int \csc^m(x) \cot^n(x) dx$$
که $m$ یا $n$ (یا هر دوی آنها) یک عدد صحیح مثبت (positive integer) می باشند.

ایدۀ اصلی بیشتر انتگرال های مثلثاتی زیر اینست که انتگراند را به نحوی سازماندهی کنید که بتوانید یک جایگزینی $u$ را انجام دهید و سپس با قانون توان معکوس (reverse power rule) انتگرال گیری کنید. شما بزودی در ادامۀ این فصل منظور من را خواهید فهمید.

انتگرال هایی که شامل سینوس ها و کسینوس ها هستند

این بخش انتگرال هایی را پوشش می دهد، که شامل سینوس ها و کسینوس ها باشند.

مورد 1: توان سینوس فرد و مثبت است

اگر توان سینوس فرد و مثبت باشد، توان سینوس را یکی کاهش دهید و فاکتوری از سینوس را در سمت راست بقیۀ عبارت قرار دهید، توانهای سینوس باقیمانده را با اتحاد فیثاغورثی (Pythagorean identity) به کسینوس تبدیل کنید، و سپس با روش جایگزینی که در آن $u=\cos(x)$ است، انتگرال گیری کنید:

اتحاد فیثاغورثی (Pythagorean identity): اتحاد فیثاغورثی بیان می دارد که، برای هر زاویۀ $x$، رابطۀ $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ برقرار می باشد. و از اینرو $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ و $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ .

اکنون انتگرال $\int \sin^3(x) \cos^4(x) dx$ را بدست آورید:

یک فاکتور از سینوس را کاهش دهید و آن را به سمت راست منتقل کنید. $$\int \sin^3(x) \cos^4(x) dx = \int \sin^2 (x) \cos^4(x) \sin(x) dx$$
سینوس های باقیمانده را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی به کسینوس ها تبدیل کنید و ساده سازی نمایید. $$\int \sin^2(x) \cos^4(x)\sin(x) dx \\
=\int (1-\cos^2(x)) \cos^4(x) \sin(x) dx \\
= \int (\cos^4(x)-\cos^6(x)) \sin(x) dx$$
با استفاده از روش جایگزینی که در آن $u=\cos(x)$ باشد، انتگرال گیری کنید. $$u=\cos(x) \\
\frac{du}{dx} = -\sin(x) \\
du=-\sin(x) dx$$

میانبری برای روش انتگرال گیری با جایگزینی $u$: شما می توانید در تمامی مسأله های جایگزینی با صرفاً حل کردن برای بدست آوردن $du$ و عدم اذیت خودتان برای بدست آوردن $dx$ ـــ همچنانکه من در اینجا انجام داده ام ـــ اندکی در زمان صرفه جویی کنید. سپس عبارت داخل انتگرال را به نحوی تغییر بدهید که شامل چیزی شود که برابر $du$ باشد، و با افزودن چیزی بیرون انتگرال، آن تغییر را جبران کنید. در مسالۀ جاری، $du$ برابر با $-\sin(x)dx$ می باشد. این انتگرال شامل یک $\sin(x) dx$ می باشد، بنابراین شما آن را در $-1$ ضرب می کنید تا آن را به $-\sin(x)dx$ تبدیل کنید و سپس با ضرب کردن کل انتگرال در $-1$ آن $-1$ را جبران می کنید. این یک شستشو است، زیرا $-1$ ضربدر $-1$ برابر با $1$ می شود. این ممکن است شبیه یک میانبر به نظر نرسد، اما هنگامی که شروع به استفاده از آن کنید، گاه اندوز (صرفه جویی کننده در زمان) خوبی می باشد.

بنابراین انتگرال تان را اینگونه تغییر دهید:
$$\int (\cos^4(x)-\cos^6(x))(\sin(x)dx) \\
= - \int (\cos^4(x)-\cos^6(x))(-\sin(x)dx)$$
اکنون جایگزینی را انجام دهید و با استفاده از قانون توان معکوس آن را حل کنید:
$$=-\int (u^4-u^6)du \\
=-\frac{1}{5}u^5+\frac{1}{7}u^7+C \\
=-\frac{1}{5} \cos^5(x)+\frac{1}{7} \cos^7(x)+C \\
\text{or } \frac{1}{7} \cos^7(x) - \frac{1}{5} \cos^5(x) + C$$

مورد 2: توان کسینوس فرد و مثبت است

این مسأله دقیقاً همانند مورد 1 کار می کند، با این تفاوت که نقش های سینوس و کسینوس معکوس شده اند. انتگرال زیر را بیابید:
$$\int \frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx$$

یک فاکتور از کسینوس را کاهش دهید و آن را به سمت راست منتقل کنید. $$\int \frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx = \int \cos^3 (x) (\sin^{-\frac{1}{2}}(x)) dx \\
= \int \cos^2 (x) (\sin^{-\frac{1}{2}} (x)) \cos (x) dx$$
کسینوس های باقیمانده را با استفاده از اتحاد فیثاغورثی به سینوس ها تبدیل کنید و ساده سازی نمایید. $$\int \cos^2(x) (\sin^{-\frac{1}{2}}(x)) \cos(x) dx \\
= \int (1-\sin^2(x)) (\sin^{-\frac{1}{2}}(x)) \cos(x) dx \\
= \int (\sin^{-\frac{1}{2}}(x)-\sin^{\frac{3}{2}}(x)) \cos(x) dx$$
با جایگزینی که در آن $u=\sin(x)$ است، انتگرال گیری کنید. $$u=\sin(x) \\
\frac{du}{dx} = \cos (x) \\
du=\cos(x) dx$$
اکنون جایگزین کنید:
$$=\int (u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$$
و انتگرال گیری را همانند مورد 1 به پایان برسانید.

مورد 3: توانهای سینوس و همینطور کسینوس هر دو زوج و غیر منفی هستند

در اینجا شما انتگراند را با استفاده از اتحادهای مثلثاتی زیر به توانهای فرد از کسینوس ها تبدیل می کنید.

دو اتحاد مثلثاتی سودمند: $$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \\
\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

سپس مسأله را همانند مورد 2 به پایان می رسانید. در اینجا مثالی داریم:
$$\int \sin^4 (x) \cos^2(x) dx \\
= \int (\sin^2 (x))^2 \cos^2 (x) dx \\
= \int \biggl( \frac{1-\cos(2x)}{2} \biggr)^2 \biggl( \frac{1+\cos(2x)}{2} \biggr)dx \\
= \frac{1}{8} \int \biggl( 1-\cos(2x)-\cos^2(2x) + \cos^3(2x) \biggr)dx$$
(خط آخر در بالا صرفاً استفاده از جبر است و نکته خاصی ندارد، خودتان می توانید با جبر به این نتیجه برسید!)
$$\frac{1}{8} \int 1dx -\frac{1}{8} \int \cos(2x)dx - \frac{1}{8} \int \cos^2(2x) dx + \frac{1}{8} \int \cos^3 (2x) dx$$
اولین مورد در این رشته انتگرال ها آنقدر آسان است که فکر کردن لازم ندارد؛ دومین مورد یک قانون معکوس ساده همراه با اندکی پیچیدگی برای آن $2$ می باشد؛ سومین انتگرال را با استفاده از اتحاد $\cos^2(x)$ برای دومین بار انجام می دهید؛ و انتگرال چهارم با دنبال کردن مراحل موجود در مورد 2 مدیریت می شود. انجامش دهید. پاسخ نهایی شما باید این باشد:
$$\frac{1}{16}x - \frac{1}{64}\sin(4x)-\frac{1}{48}\sin^3(2x)+C$$

اتحادهای مثلثاتی تان را فراموش نکنید. اگر به یک مسالۀ سینوس-کسینوس رسیدید که در هیچکدام از سه موردی که در بالا بحث شد نمی گنجید، سعی کنید از یکی از اتحادهای مثلثاتی مانند $\sin^2 (x)+\cos^2(x)=1$ یا $\cos^2 (x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ استفاده کنید تا آن انتگرال را به انتگرالی قابل مدیریت تبدیل کنید.

به عنوان مثال، $\int \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)} dx$ در هیچکدام از سه مورد سینوس-کسینوس نمی گنجد، اما شما می توانید از اتحاد فیثاغورثی استفاده کنید تا آن را به $\int \frac{(1-\cos^2(x))^2}{\cos^2(x)} dx = \int \frac{1-2\cos^2(x)+\cos^4(x)}{\cos^2(x)} dx$ تبدیل کنید. این به $\int \sec^2(x) dx - \int 2dx + \int \cos^2 (x) dx$ جدا می شود و بقیه اش آسان است. خودتان بیازمایید. ببینید آیا می توانید نتیجۀ بدست آمده را مشتق گیری کنید و به مسالۀ اصلی برسید.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی