خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


کسرهای جزئی (partial fractions)

کسرهای جزئی (partial fractions)
نویسنده : امیر انصاری
درست همانموقع که فکر می کنید چیزی بدتر از جایگزینی های مثلثاتی وجود ندارد، من تکنیک کسرهای جزئی (partial fractions) را به شما ارائه می دهم و سورپرایزتان می کنم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



شما از روش کسرهای جزئی برای انتگرال گیری توابع گویا مانند \(\frac{6x^2+3x-2}{x^3+2x^2}\) استفاده می کنید. ایدۀ اصلی شامل متضاد جمع کردن یک کسر می باشد: جمع کردن کسرها اینگونه کار می کند: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\). بنابراین، شما می توانید \(\frac{5}{6}\) را با عملیات متضاد جمع کردن به \(\frac{1}{2}\) بعلاوۀ \(\frac{1}{3}\) جدا کنید. این کاری است که در تکنیک کسر جزئی انجام می دهید با این تفاوت که به جای کسرهای معمولی، آن را با توابع گویای پیچیده انجام می دهید.

قبل از استفاده کردن از تکنیک کسرهای جزئی، شما باید بررسی کنید که انتگراند (تابع زیر انتگرال) شما یک کسر سره (proper fraction) باشد ـــ در کسر سره، درجۀ صورت کسر کمتر از درجۀ مخرج کسر است. اگر انتگراند ناسره (improper) باشد، مانند \(\int \frac{2x^3+x^2-10}{x^3-3x-2}dx\)، شما ابتدا باید تقسیم طولانی چندجمله ای (long polynomial division) را انجام دهید تا آن کسر ناسره (improper fraction) را به مجموع یک چندجمله ای (که گاهی اوقات فقط یک عدد خواهد بود) و یک کسر سره تبدیل کنید. در اینجا تقسیم این کسرناسره را می بینید. در واقع، همانند تقسیم طولانی معمولی کار می کند:

کسرهای جزئی (partial fractions)
در تقسیم معمولی، اگر فرضاً \(23\) را بر \(4\) تقسیم کنید، به خارج قسمت \(5\) و باقیماندۀ \(3\) می رسید، که به شما می گوید \(\frac{23}{4} = 5 + \frac{3}{4}= 5\frac{3}{4}\) . چهار تکۀ موجود در تقسیم چندجمله ای بالا ،یعنی مقسوم (dividend)، مقسوم علیه (divisor)، خارج قسمت (quotient)، و باقیمانده (remainder)، به شیوۀ یکسانی کار می کنند. خارج قسمت برابر با \(2\) و باقیمانده برابر با \(x^2+6x-6\) است، بنابراین \(\frac{2x^3+x^2-10}{x^3-3x-2}\) برابر با \(2+\frac{x^2+6x-6}{x^3-3x-2}\) می باشد. بنابراین، مسالۀ اصلی، \(\int \frac{2x^3+x^2-10}{x^3-3x-2}dx\)، به \(\int 2 dx + \int \frac{x^2+6x-6}{x^3-3x-2}dx\) تبدیل می شود. اولین انتگرال صرفاً \(2x+C\) است. بعد از آن می توانید دومین انتگرال را با روش کسرهای جزئی انجام دهید. در اینجا چگونگی کارکرد آن را داریم. در ابتدا یک مثال ساده می زنیم و سپس به یک مثال پیشرفته تر می پردازیم.

مورد 1: مخرج فقط شامل فاکتورهای خطی است


انتگرال زیر را بدست آورید:
$$\int \frac{5}{x^2+x-6}dx$$
این مسأله از نوع مورد 1 می باشد زیرا مخرج فاکتورگیری شده (مرحلۀ 1 را ببینید) تنها شامل فاکتورهای خطی (linear) ـــ به عبارت دیگر، چندجمله ای های درجه اول ـــ می باشد.

  1. مخرج کسر (denominator) را فاکتورگیری کنید. $$\frac{5}{x^2+x-6} = \frac{5}{(x-2)(x+3)}$$
  2. کسر سمت راست را به حاصلجمع دو کسر بشکنید که در آنها هر فاکتور از مخرج در مرحلۀ 1 تبدیل به مخرجی از هر کسر جداگانه بشود. سپس حروف بزرگ مجهول ها را در صورت هر کدام از این کسرها قرار دهید. $$\frac{5}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{(x-2)} + \frac{B}{(x+3)}$$
  3. هر دو سمت این معادله را در مخرج سمت چپ ضرب کنید.
    در اینجا با استفاده از تجزیه کسرها که در دورۀ آموزش جبر مطرح شد به نتیجۀ زیر می رسیم. (اگر در مورد چگونگی تجزیه کسرها نیاز به یاد آوری دارید اینجا کلیک کنید):
    $$5=A(x+3)+B(x-2)$$
  4. ریشه های فاکتورهای خطی را بدست آورید و آنها را در \(x\) از معادلۀ مرحلۀ 3 جایگذاری کنید ـــ هر بار یکی را جایگذاری کنید ـــ و آن را برای بدست آوردن مجهول های حروف بزرگ حل کنید. $$\text{if } x=3\\
    5 = A(2+3)+B(2-2) \\
    5 = 5A \\
    A=1$$
    $$\text{if } x=-3 \\
    5=A(-3+3)+B(-3-2) \\
    5=-5B \\
    B=-1$$

  5. این نتایج را در \(A\) و \(B\) و در معادلۀ مرحلۀ 2 جایگذاری کنید. $$\frac{5}{(x-2)(x+3)} = \frac{1}{(x-2)}+\frac{-1}{(x+3)}$$
  6. انتگرال اصلی را به کسرهای جزئی بدست آمده از مرحله 5 جدا کنید و به دلیل انجام دادن سختترین قسمت کار موفقیت شما قطعی است. $$\int \frac{5}{x^2+x-6}dx = \int \frac{1}{(x-2)}dx + \int \frac{-1}{(x+2)}dx \\
    =\ln |x-2|- \ln |x+3|+C \\
    =\ln|\frac{x-2}{x+3}|+C$$
    (با استفاده از قانون لگاریتم خارج قسمت)

مورد 2: مخرج شامل فاکتورهای درجه دوم غیرقابل کاهش است


گاهی اوقات شما نمی توانید یک مخرج را به فاکتورهای خطی فاکتورگیری کنید زیرا برخی از درجه دوم ها غیرقابل کاهش می باشند ـــ مانند اعداد اول، آنها نمی توانند فاکتورگیری شوند.

مبین (discriminant) را بررسی کنید. شما به سادگی می توانید بررسی کنید که آیا یک عبارت درجه دوم (\(ax^2+bx+c\)) قابل کاهش می باشد یا خیر، برای این منظور مبین (\(b^2-4ac\)) را بررسی می کنید. اگر مبین منفی باشد، آن عبارت درجه دوم غیر قابل کاهش (irreducible) می باشد. اگر مبین آن یک مربع کامل (perfect square) مانند \(0\)، \(1\)، \(4\)، \(9\)، \(16\)، \(25\)، و ... باشد، آن عبارت درجه دوم می تواند به فاکتورهایی که قبلاً دیده اید، مانند \((2x-5)(x+5)\)، فاکتورگیری شود. این چیزی است که در مورد 1 رخ می دهد. احتمال دیگر اینست که مبین برابر با یک عدد مثبت غیرمربع باشد، به عنوان مثال مانند عبارت درجه دومِ \(x^2+10x+1\)، که دارای مبین \(96\) می باشد. در این صورت، این عبارت درجه دوم می تواند فاکتورگیری شود، اما شما فاکتورهایی زشت شامل جذرها را بدست می آورید. شما تقریباً به طور قطع به مسأله ای مانند آن برنخواهید خورد.

استفاده از تکنیک کسرهای جزئی با درجه دوم های غیر قابل کاهش اندکی متفاوت است. در اینجا مسأله ای داریم، انتگرال زیر را بدست آورید:
$$\int \frac{5x^3+9x-4}{x(x-1)(x^2+4)}dx$$
  1. مخرج را فاکتورگیری کنید.
    این کار هم اکنون انجام شده است. توجه داشته باشید که \(x^2+4\) غیر قابل کاهش می باشد زیرا مبین آن منفی است.

  2. این کسر را به مجموع کسرهای جزئی بشکنید.
    اگر یک فاکتور غیر قابل کاهش (مانند \(x^2+4\)) دارید، صورت آن کسر جزئی به جای فقط یک حرف بزرگ مجهول، به دو حرف بزرگ مجهول نیاز دارد. شما آن را در شکل \(Px+Q\) می نویسید.
    $$\frac{5x^3+9x-4}{x(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2+4}$$
  3. هر دو سمت این معادله را در مخرج سمت چپ ضرب کنید. $$5x^3+9x-4=A(x-1)(x^2+4)+B(x)(x^2+4)+(Cx+D)(x)(x-1)$$
  4. ریشه های فاکتورهای خطی را بدست آورید و آنها را در \(x\) از معادلۀ مرحلۀ 3 جایگذاری کنید ـــ هر بار یکی را جایگذاری کنید ـــ، و سپس حل کنید. $$\text{if } x=0\\
    -4=-4A\\
    A=1$$
    $$\text{if }x=1\\
    10=5B\\
    B=2$$
    برخلاف مثال مورد 1، شما نمی توانید با جایگذاری ریشه های فاکتورهای خطی، مسأله را برای بدست آوردن تمامی مجهول ها حل کنید، بنابراین شما کار بیشتری برای انجام دادن دارید.

  5. مقادیر معلوم برای \(A\) و \(B\)، و هر دو مقدار دلخواه برای \(x\) که در مرحلۀ 4 مورد استفاده قرار نگرفته اند را در معادلۀ مرحلۀ 3 جایگذاری کنید (مقادیر دلخواه برای \(x\) هر چقدر کوچکتر باشند، عملیات ریاضی ساده تر می گردد) تا به دستگاهی متشکل از دو معادله در \(C\) و \(D\) برسید. $$A=1 \text{ and } B=2$$
    بنابراین:
    $$\text{if }x=-1\\
    -18=-10-10-2C+2D \\
    1=-C+D$$
    $$\text{if }x=2\\
    54=8+32+4AC+2D\\
    14=4C+2D\\
    7=2C+D$$
  6. دستگاه \(1=-C+D\) و \(7=2C+D\) را حل کنید.
    شما باید به نتیجۀ \(C=2\) و \(D=3\) برسید.

  7. انتگرال اصلی را جدا کنید و انتگرال گیری کنید.
    با استفاده از مقادیر بدست آمده در مراحل 4 و 6، یعنی \(A=1\)، \(B=2\)، \(C=2\)، و \(D=3\)، و معادلۀ مرحلۀ 2، شما می توانید انتگرال اصلی را به سه بخش جدا کنید:
    $$\int \frac{5x^3+9x-4}{x(x-1)(x^2+4)} dx = \int \frac{1}{x}dx + \int \frac{2}{x-1}dx+ \int \frac{2x+3}{x^2+4}dx$$
    و با یک عملیات جبری ساده می توانید انتگرال سوم در سمت راست را به دو تکه جدا کنید، که نتیجه اش تجزیه کسر جزئی نهایی می باشد:
    $$\int \frac{5x^3+9x-4}{x(x-1)(x^2+4)} dx = \int \frac{1}{x}dx + \int \frac{2}{x-1}dx+ \int \frac{2x}{x^2+4}dx + \int \frac{3}{x^2+4}dx
    $$
    دو انتگرال اول ساده می باشند. برای انتگرال سوم شما از روش جایگرینی با \(u=x^2+4\) و \(du=2xdx\) استفاده می کنید. انتگرال چهارم با قانون آرک تانژانت (arctangent rule) که شما باید آن را حفظ کنید، انجام می پذیرد. در زیر قانون آرک تانژانت را می بینید:
    $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$$
    و اینهم پاسخ نهاییِ این مسأله:
    $$\int \frac{5x^3+9x-4}{x(x-1)(x^2+4)} dx = \ln|x|+2 \ln|x-1|+\ln|x^2+4|+\frac{3}{2}\arctan (\frac{x}{2})+C \\
    =\ln |x(x-1)^2(x^2+4)| + \frac{3}{2} \arctan(\frac{x}{2})+C$$

برابر قرار دادنِ جملات مشابه


در اینجا روش دیگری برای یافتن حروف بزرگ مجهول داریم. فرض کنید در معادلۀ مرحلۀ 3تان به نتیجۀ زیر رسیده اید (این معادله نتیجۀ مسأله ای است که در آن دو فاکتور درجه دوم غیرقابل کاهش وجود داشته است):
$$2x^3+x^2-5x+4=(Ax+B)(x^2+1)+ (Cx+D)(x^2+2x+2)$$
این معادله هیچ فاکتور خطی ندارد، بنابراین شما نمی توانید ریشه ها را جایگذاری کنید تا مجهول ها را بدست آورید. در عوض، سمت راست این معادله را بسط دهید:
$$2x^3+x^2-5x+4=Ax^3+Ax+Bx^2+B+C x^3+2C x^2+2Cx+Dx^2+2Dx+2D$$
و جملات مشابه را گردآوری کنید:
$$2x^3+x^2-5x+4=(A+C)x^3+(B+2C+D)x^2+(A+2C+2D)x+(B+2D)$$
سپس ضریب های جملات مشابه از سمت چپ و سمت راست این معادله را برابر با یکدیگر قرار دهید:
$$2=A+C\\
1=B+2C+D\\
-5=A+2C+2D\\
4=B+2D$$
سپس این دستگاه از معادلات توأم را حل می کنید تا \(A\)، \(B\)، \(C\)، و \(D\) را بدست آورید.

نظرتان در مورد یک میانبر چیست؟ شما می توانید مثال مورد 2 را با استفاده از نسخۀ میانبر از روش برابر قرار دادن ضریب ها، به پایان برسانید. هنگامی که مقادیر \(A\) و \(B\) را از مرحلۀ 4 داشته باشید، می توانید به معادلۀ مرحلۀ 3 فکر کنید، و ضریبهای جملات دارای \(x^3\) در سمت چپ و راست این معادله را برابر با یکدیگر قرار دهید. آیا می توانید ببینید که در واقع بدون انجام بسط دادن، در سمت راست می توانید به \((A+B+C)x^3\) دست یابید؟ بنابراین، \(5x^3=(A+B+C)x^3\)، که بدین معناست که \(5=A+B+C\)، و از آنجا که \(A=1\) و \(B=2\) (از روی مرحلۀ 4)، \(C\) باید برابر \(2\) باشد. سپس با استفاده از این مقادیر برای \(A\)، \(B\)، و \(C\)، و هر مقدار دیگری برای \(x\) (به جز \(0\) و \(1\)) شما می توانید \(D\) را بدست آورید.




مطالب مرتبط :

نمایش دیدگاه ها (1 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.