در هندسه آموختید که چگونه حجم های اجسام ساده مانند جعبه ها، استوانه ها، و کره ها را محاسبه کنید. انتگرال گیری شما را قادر می سازد تا حجم های بی نهایت از اجسام متنوع پیچیده تر را محاسبه کنید.

روش بُرش گوشت (meat-slicer method)

این استعاره در واقع کاملاً صحیح می باشد. یک تکۀ بزرگ گوشت را در نظر بگیرید که با یکی از آن دستگاه های برش گوشت به برش های بسیار باریک بریده شده اند. ایدۀ اصلی اینست، شما یک شکل سه بُعدی را بُرش های زیادی می دهید، سپس حجم آن برش ها را با یکدیگر جمع می زنید تا مجموع حجم را تعیین کنید.

در اینجا مسأله ای داریم: حجم یک شکل سه بعدی که طول آن در امتداد محور \(x\) از \(0\) تا \(\pi\) می رود و سطح مقطع های آن که بر محور \(x\) عمود هستند، مثلث های متساوی الاضلاعی می باشند که نقطۀ میانی قاعده های آنها بر روی محور \(x\) قرار می گیرند و رأس های بالای آنها بر روی منحنی \(y=\sin(x)\) قرار می گیرد؟ توصیف و تصور کردن این مسأله تقریباً از کاری که باید انجام شود سخت تر است. به شکل 5-17 نگاهی بیندازید.


خوب، حجم چقدر است؟

1. مساحت هر سطح مقطع ساده را تعیین کنید.
   هر سطح مقطع، یک مثلث متساوی الاضلاع با ارتفاع \(\sin(x)\) می باشد. (ارتفاع مثلث دوم از سمت چپ در این شکل نشان داده شده است.) اگر عملیات هندسی را انجام دهید، خواهید دید که قاعدۀ هر مثلث، \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)، ضربدر ارتفاع آن، \(\frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sin(x)\)، می باشد. (راهنما: نصف یک مثلث متساوی الاضلاع برابر با یک مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) می باشد.) بنابراین، مساحت این مثلث، با \(A=\frac{1}{2}(b)(h)\) یعنی \(\frac{1}{2} \biggl( \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sin(x) \biggr) \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}\sin^2(x)\) بدست می آید.
   
   
2. حجم یک بُرش نماینده را بیابید.
   حجم یک برش صرفاً مساحت سطح مقطع آن ضربدر ضخامت بی نهایت کوچکش، \(dx\)، می باشد. بنابراین شما حجم را دارید:
   $$\text{Volume of representative slice } = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin^2(x) dx$$
   
3. با انتگرال گیری حجم های این برش ها را از \(0\) تا \(\pi\) با یکدیگر جمع بزنید.
   اگر چیزی که در ادامه آمده است اندکی سخت به نظر می آید، خوب، بهتر است به آن عادت کنید. از این گذشته این حسابان است. (در واقع اگر گام به گام و با صبوری مراحل آن را پیش بروید آنقدرها بد نیست.)
   $$
   \int_0^x \frac{\sqrt{3}}{3} \sin^2 (x) dx\\
   = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_0^x \sin^2(x) dx \\
   = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_0^x \frac{1-\cos(2x)}{2} dx \\
   =\frac{\sqrt{3}}{6} \biggl( \int_0^x 1 dx - \int_0^x \cos(2x)dx \biggr) \\
   
   =\frac{\sqrt{3}}{6} \biggl( [x]_0^x - \biggl[ \frac{\sin(2x)}{2} \biggr]_0^x \biggr) \\
   = \frac{\sqrt{3}}{6} \biggl( \pi-0- \biggl( \frac{\sin(2x)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} \biggr) \biggr)\\
   = \frac{\sqrt{3}}{6} \bigl( \pi-0-(0-0) \bigr)\\
   =\frac{\pi \sqrt{3}}{6} \\
   \approx 0.91 \text{ cubic units}
   $$
   

روش دیسک (disk method)

این تکنیک در واقع با روش برش گوشت یکسان است ـــ در واقع یک مورد خاص از روش برش گوشت است که در مواقعی که سطح مقطع ها همگی دایره باشند، مورد استفاده قرار می گیرد. در اینجا چگونگی کارکرد آن را می بینید. حجم شکل سه بعدی زیر را از \(x=2\) تا \(x=3\) بیابید، این شکل با چرخش منحنی \(y=e^x\) در اطراف محور \(x\) تولید شده است. شکل 6-17 را ببینید.

1. مساحت هر سطح مقطع ساده را تعیین کنید.
   هر سطح مقطع دایره ای با شعاع \(e^x\) می باشد. بنابراین، مساحت آن با استفاده از فرمول مساحت دایره، \(A=\pi r^2\)، بدست می آید. با جایگذاری \(e^x\) در \(r\) نتیجۀ زیر را بدست می آورید:
   $$A=\pi(e^x)^2=\pi e^{2x}$$
   
2. \(dx\) را بیفزایید تا حجم یک دیسک نمایندۀ بی نهایت باریک را بدست آورید.
   
   
3. حجم های این دیسک ها را از \(2\) تا \(3\) با انتگرال گیری با یکدیگر جمع بزنید. $$
   \text{Total volume}=\int_2^3 \pi e^{2x} dx\\
   =\pi \int_2^3 e^{2x} dx\\
   =\frac{\pi}{2} \int_2^3 e^{2x} 2dx \\
   =\frac{\pi}{2} \int_4^6 e^u du\\
   =\frac{\pi}{2} \bigl[ e^u \bigr]_4^6 \\
   = \frac{\pi}{2} (e^6 - e^4) \\
   \approx 548 \text{ cubic units}
   $$