در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث توابع تعریف شده به صورت قطعه به قطعه (Piecewise-Defined Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.





نمودار توابع موجود در تمرین های \(\text{25-28}\) را ترسیم کنید.

25. $$f(x) =
    \begin{cases}
    x, 0\le x \le 1 \\
    2-x, 1 \lt x \le 2 \
    \end{cases}$$
    
26. $$g(x) = \begin{cases}
    1-x,0 \le x \le 1\\
    2-x, 1 \lt x \le 2\\
    \end{cases}$$
    
27. $$F(x) = \begin{cases}
    4-x^2, x \le 1\\
    x^2+2x, x \gt 1\\
    \end{cases}$$
    
28. $$G(x)= \begin{cases}
    \frac{1}{x}, x \lt 0 \\
    x, 0 \le x\\
    \end{cases}$$
    

برای هر کدام از توابعی که نمودار آنها در تمرینات \(\text{29-32}\) ترسیم شده است، فرمولی بیابید.

29. 
    
    
30. 
    
    
31. 
    
    
32. 
    

پاسخ تمرینات

25. 
    
    
26. 
    
    
27. 
    
    
28. 
    
    
29. 1. خطی که از \((0,0)\) و \((1,1)\) عبور می کند: \(y=x\)؛ خطی که از \((1,1)\) و \((2,0)\) عبور می کند: \(y=-x+2\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       x,0 \le x \le 1\\
       -x+2,1 \lt x \le 2
       \end{cases}$$
       
    2. $$f(x) = \begin{cases}
       2,0 \le x \lt 1\\
       0, 1 \le x \lt 2 \\
       2, 2 \le x \lt 3 \\
       0, 3 \le x \le 4 \\
       \end{cases}$$
       
    
    
30. 1. خطی که از \((0,2)\) و \((2,0)\) می گذرد: \(y=-x+2\)
       حطی که از \((2,1)\) و \((5,0)\) می گذرد: \(m=\frac{0-1}{5-2}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}\)، بنابراین \(y=-\frac{1}{3}(x-2)+1=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       -x+2, 0 \lt x \le 2 \\
       -\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}, 2 \lt x \le 5\\
       \end{cases}$$
       
    2. خطی که از \((-1,0)\) و \((0,-3)\) می گذرد: \(m=\frac{-3-0}{0-(-1)}=-3\)، پس \(y=-3x-3\)
       حطی که از \((0,3)\) و \((2,-1)\) می گذرد: \(m=\frac{-1-3}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2\)، پس \(y=-2x+3\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       -3x-3, -1 \lt x \le 0\\
       -2x+3,0 \lt x \le 2 \\
       \end{cases}$$
       
    
    
31. 1. خطی که از \((-1,1)\) و \((0,0)\) می گذرد: \(y=-x\)
       خطی که از \((0,1)\) و \((1,1)\) می گذرد: \(y=1\)
       خطی که از \((1,1)\) و \((3,0)\) می گذرد: \(m=\frac{0-1}{3-1}=\frac{-1}{2}\)، بنابراین \(y=-\frac{1}{2}(x-1)+1=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       -x, -1 \le x \lt 0 \\
       1, 0 \lt x \le 1 \\
       -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}, 1 \lt x \lt 3 \\
       \end{cases}$$
       
    2. خطی که از \((-2,-1)\) و \((0,0)\) می گذرد: \(y=\frac{1}{2}x\)
       خطی که از \((0,2)\) و \((1,0)\) می گذرد: \(y=-2x+2\)
       خطی که از \((1,-1)\) و \((3,-1)\) می گذرد: \(y=-1\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       \frac{1}{2}x, -2 \le x \le 0 \\
       -2x+2, 0 \lt x \le 1\\
       -1, 1 \lt x \le 3 \\
       \end{cases}$$
       
    
    
32. 1. خطی که از \(\biggl( \frac{T}{2},0 \biggr)\) و \((T,1)\) عبور می کند: \(m=\frac{1-0}{T-(\frac{T}{2})}=\frac{2}{T}\)، بنابراین \(y=\frac{2}{T} \biggl( x-\frac{T}{2} \biggr)+0=\frac{2}{T}x-1\)
       $$f(x) = \begin{cases}
       0, 0 \le x \le \frac{T}{2}\\
       \frac{2}{T}x-1, \frac{T}{2} \lt x \le T\\
       \end{cases}$$
       
    2. $$f(x) = \begin{cases}
       A, 0 \le x \lt \frac{T}{2} \\
       -A, \frac{T}{2} \le x \lt T \\
       A, T \le x \lt \frac{3T}{2}\\
       -A, \frac{3T}{2} \le x \le 2T \\
       \end{cases}$$