در این بخش به روش اصلی ترکیب یا جابجایی توابع برای شکل دهی به توابع جدید، نگاهی می اندازیم. همانند اعداد، توابع می توانند جمع زده شوند، تفریق شوند، ضرب شوند، و تقسیم گردند (به جز مواقعی که مخرج صفر باشد) تا توابعی جدیدی را تولید کنند. اگر \(f\) و \(g\) توابعی باشند، آن گاه به ازاء هر \(x\) که به دامنۀ هر دو تابع \(f\) و \(g\) متعلق باشد (یعنی، به ازاء \(x \in D(f) \cap D(g)\))، ما توابع \(f + g\)، \(f - g\)، و \(fg\) را با فرمول های زیر تعریف می کنیم:


$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\


(f-g)(x)=f(x)-g(x)\\
(fg)(x)=f(x)g(x)
$$
توجه داشته باشید که علامت \(+\) در سمت چپ از معادلۀ اول نشان دهندۀ عملیات جمع توابع می باشد، در حالیکه \(+\) در سمت راست از این معادله به معنای جمع زدن اعداد حقیقی \(f(x)\) و \(g(x)\) می باشد.

همچنین در هر نقطه از \(D(f) \cap D(g)\) که در آن \(g(x) \ne 0\)، می توانیم تابع \(\frac{f}{g}\) را با این فرمول تعریف کنیم:
$$\biggl( \frac{f}{g} \biggr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} (\text{where } g(x) \ne 0)$$
همچنین توابع می توانند در ثابتها (constants) ضرب شوند: اگر \(c\) یک عدد حقیقی باشد، آن گاه تابع \(cf\) به ازاء تمامی \(x\) های موجود در دامنۀ \(f\) اینگونه تعریف می شود:
$$(cf)(x)=cf(x)$$
مثال 1
توابعی که با فرمولهای \(f(x)=\sqrt{x}\) و \(g(x)=\sqrt{1-x}\) تعریف شده اند، دارای دامنه های \(D(f)=[0,\infty)\) و \(D(g)=(-\infty,1]\) می باشند. نقاط مشترک بین این دامنه ها \([0,\infty) \cap (-\infty,1]=[0,1]\) می باشند.
جدول زیر فرمول ها و دامنه های ترکیبات جبری مختلف را برای این دو تابع نشان می دهد. ما همچنین \(f \cdot g\) را برای تابع حاصلضرب \(fg\) نوشته ایم.


نمودار تابع \(f+g\) از نمودارهای \(f\) و \(g\) همراه با افزودن مختصات های \(y\) متناظر \(f(x)\) و \(g(x)\) در هر نقطه از \(x \in D(f) \cap D(g)\) بدست آمده است، شکل \(\text{1.25}\) را ببینید. نمودارهای \(f+g\) و \(f \cdot g\) از مثال 1 در شکل \(\text{1.26}\) نشان داده شده اند.