مقیاس دهی (Scaling) و بازتاب (Reflecting) نمودار یک تابع

مقیاس دهی نمودار یک تابع $y=f(x)$ اینست که آن را به صورت عمودی یا افقی بسط (stretch) بدهیم یا اینکه فشرده (compress) کنیم. این کار با ضرب کردن تابع $f$، یا متغیر مستقل $x$، در یک ثابت مناسب $c$ انجام می پذیرد. بازتاب (Reflections) از این سو به آن سوی محورها، موارد خاصی می باشند که در آنها $c=-1$ است.

مقیاس دهی افقی و عمودی و فرمول های بازتاب

برای $c \gt 1$ نمودار اینگونه مقیاس می پذیرد:
$y=cf(x)$ نمودار $f$ به صورت عمودی با فاکتوری از $c$ بسط می یابد.
$y=\frac{1}{c} f(x)$ نمودار $f$ به صورت عمودی با فاکتوری از $c$ فشرده می شود.
$y=f(cx)$ نمودار $f$ به صورت افقی با فاکتوری از $c$ فشرده می شود.
$y=f(\frac{x}{c})$ نمودار $f$ به صورت افقی با فاکتوری از $c$ بسط می یابد.

برای $c=-1$ نمودار بازتاب می یابد:
$y=-f(x)$ نمودار $f$ از این سو به آن سوی محور $x$ بازتاب می یابد.
$y=f(-x)$ نمودار $f$ از این سو به آن سوی محور $y$ بازتاب می یابد.

مثال 4 در اینجا نمودار $y=\sqrt{x}$ را مقیاس دهی و بازتاب می کنیم.

عمودی (Vertical): سمت راست $y=\sqrt{x}$ را در $3$ ضرب کنید تا $y=3\sqrt{x}$ را بدست آورید، نمودار شما با فاکتوری از $3$ به صورت عمودی بسط (stretch) می یابد، در حالیکه ضرب کردن آن در $\frac{1}{3}$ نمودار را با فاکتوری از $3$ فشرده (compress) می کند (شکل $\text{1.32}$).
افقی (Horizontal): نمودار $y=\sqrt{3x}$ یک فشرده سازی افقی از نمودار $y=\sqrt{x}$ با فاکتوری از $3$ می باشد، و $y=\sqrt{\frac{x}{3}}$ یک بسط افقی از آن با فاکتوری از $3$ می باشد (شکل $\text{1.33}$). توجه داشته باشید که $y=\sqrt{3x}=\sqrt{3}\sqrt{x}$، بنابراین یک فشرده سازی افقی می تواند با یک بسط عمودی، با فاکتور مقیاس گذاری متفاوت، متناظر باشد. به همین ترتیب، یک بسط افقی می تواند با فاکتور مقیاس گذاری متفاوت با یک فشرده سازی عمودی متناظر باشد.
بازتاب (Reflection): نمودار $y=-\sqrt{x}$ بازتابی از $y=\sqrt{x}$ از این سو به آنسوی محور $x$ می باشد، و $y=\sqrt{-x}$ بازتابی از آن از این سو به آنسوی محور $y$ می باشد (شکل $\text{1.34}$).

مثال 5 در تابع داده شدۀ $f(x)=x^4 - 4x^3 + 10$ (شکل $\text{1.35a}$)، فرمول هایی را بیابید که:

نمودار آن را به صورت افقی با فاکتوری از $2$ فشرده سازد و بدنبال آن، یک بازتاب از این سو به آنسوی محور $y$ بیابد (شکل $\text{1.35b}$).
نمودار آن را به صورت عمودی با فاکتوری از $2$ فشرده سازد و بدنبال آن، یک بازتاب این سو به آنسوی محور $x$ داشته باشد (شکل $\text{1.35c}$).

پاسخ

ما $x$ را در $2$ ضرب می کنیم تا به فشرده سازی افقی (horizontal compression) برسیم، و در $-1$ ضرب می کنیم تا به بازتاب از این سو به آن سوی محور $y$ دست یابیم. این فرمول با جایگذاری $-2x$ به جای $x$ در سمت راست این معادله برای $f$ بدست می آید:
$$y=f(-2x)=(-2x)^4-4(-2x)^3+10 = 16x^4+32x^3+10$$
فرمول اینست:
$$y=-\frac{1}{2}f(x)=-\frac{1}{2}x^4+2x^3-5$$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی