تناوب و نمودارهای توابع مثلثاتی (Periodicity and Graphs of the Trigonometric Functions)

هنگامی که زاویه ای با اندازۀ \(\theta\) و زاویه ای با اندازۀ \(\theta + 2\pi\) در موقعیت استاندارد (standard position) قرار بگیرند، نیم خط های نهایی (terminal rays) آنها، بر هم منطبق می شوند. بنابراین، این دو زاویه دارای مقادیر توابع مثلثاتی یکسانی خواهند بود: \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta\)، \(\tan (\theta + 2\pi)= \tan \theta\)، و به همین ترتیب. به طور مشابهی، \(\cos (\theta - 2\pi)= \cos \theta\)، \(\sin (\theta - 2\pi)= \sin \theta\)، و به همین ترتیب. ما این رفتار تکرار شونده را با گفتن اینکه این شش تابع مثلثاتی تناوبی (periodic) هستند، توصیف می کنیم.

تعریف: یک تابع \(f(x)\) تناوبی (periodic) است، اگر عدد مثبت \(p\) به نحوی وجود داشته باشد که به ازاء هر مقدار از \(x\)، \(f(x+p)=f(x)\) شود. کوچکترین مقدار چنین عدد \(p\) برابر با دورۀ تناوب (period) تابع \(f\) می باشد.

هنگامی که نمودار توابع مثلثاتی را در صفحۀ مختصات ترسیم می کنیم، معمولاً متغیر مستقل مربوطه را به جای \(\theta\) با \(x\) نشان می دهیم. شکل \(\text{1.44}\) نشان می دهد که توابع تانژانت (tangent) و کتانژانت (cotangent) دارای دورۀ تناوب \(p=\pi\) می باشند، و چهار تابع دیگر دارای دورۀ تناوب \(2\pi\) می باشند. همچنین تقارن ها (symmetries) در این نمودارها آشکار می سازند که توابع کسینوس (cosine) و سکانت (secant) زوج می باشند و چهار تابع دیگر فرد می باشند.

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید