خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
چگونگی یافتن دامنه و برد یک تابع: تمرین 1
در این تمرین دامنه و برد یک تابع را پیدا می کنیم. ضمن این تمرین با مفاهیم دامنه و برد تابع آشنا می شوید و همچنین چگونگی یافتن دامنۀ یک تابع و چگونگی یافتن بُرد یک تابع را می آموزید. برای این تمرین چندین راه حل مختلف ارائه شده است که درک هر کدام از آنها می تواند ذهنیت شما را راجع به موضوع دامنه و برد توابع گسترش دهد.
دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
\(f(x)=1+x^2\)
دامنه: \((-\infty, \infty)\)
بُرد: \([1, \infty)\)
در تابع \(f(x)=1 + x^2\) ما کسری نداریم که \(x\) در مخرج آن باشد، همچنین رادیکالی نداریم که احیاناً عدد زیر آن منفی گردد. بنابراین ساده است که نتیجه گیری کنیم تمامی اعداد حقیقی را می توانیم در این تابع جایگذاری کنیم. این یعنی دامنۀ این تابع \((-\infty, \infty)\) است.
در هنگام یافتن بُرد این تابع باید دقت کنیم که \(x\) به توان \(2\) رسیده است. می دانیم که هر عددی که به توان \(2\) برسد قطعاً مثبت خواهد بود و از این رو خروجی \(x^2\) همیشه مثبت است. از آنجا که این تابع \(1 + x^2\) است پس خروجی این تابع همواره بزرگتر از عدد \(1\) است. برای درک این موضوع فرض کنید مقدار صفر را در تابع جایگذاری کرده اید، خواهید داشت: \(f(0) = 1 + x^2 = 1 + (0)^2 = 1 + 0 = 1\). حتی اگر سعی کنید عددی منفی را در تابع جایگذاری کنید باز هم خروجی بزرگتر از \(1\) خواهد شد. به عنوان مثال با جایگذاری \(-5\) در این تابع خواهیم داشت: \(f(-5) = 1 + x^2 = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26\). نتیجه گیری ما اینست که بُرد این تابع \([1, \infty)\) است.
فرمول \(y = 1 + x^2\) به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) یک عدد حقیقی می دهد.
بنابراین، دامنۀ این تابع \((-\infty, \infty)\) است.
به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) داریم: \(x^2 \ge 0\)، بنابراین به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) خواهیم داشت: \(y=1+x^2 \ge 1\) .
بنابراین برد این تابع \([1, \infty)\) است.
چند مقدار از \(x\) را در این تابع جایگزین کنید و مقادیر \(y\) را بیابید.
با استفاده از آن نقاط نمودار تابع را بکشید؛ متوجه خواهید شد که یک تابع سهموی \(\text{(parabolic)}\) دارید.
دامنه عبارت از تمامی مقادیر \(x\) است که قرار دادن آنها در تابع مجاز می باشد. به عبارت دیگر، این تابع تا کجا می تواند به سمت راست یا چپ برود. از روی نمودار می توانیم ببینیم که این تابع می تواند تا ابد به سمت راست برود، همینطور تا ابد به سمت چپ نیز برود. بنابراین دامنۀ آن \((-\infty, \infty)\) است.
بُرد عبارت از تمامی مقادیر \(y\) است که از تابع بیرون می آید. به عبارت دیگر، این تابع تا کجا می تواند به سمت بالا یا پایین برود. از روی نمودار می توانیم ببینیم که این تابع می تواند تا ابد به سمت بالا برود، اما کمترین مقدار \(y\) آن \(1\) است. بنابراین بُرد این تابع \([1, \infty)\) است.
نکته: علامت کروشه \([\) در برد این تابع به معنای اینست که برد شامل خود عدد \(1\) هم می شود.
دامنۀ این تابع عبارت از تمامی مقادیر \(x\) می باشد که به ازاء آنها یک مقدار \(y\) داریم (یعنی به ازاء آنها تابع موجود است). از آنجا که این تابع یک چندجمله ای \(\text{(polynomial)}\) است و هیچ نقطه ای از محور \(x\) استثناء نشده است، بنابراین دامنۀ این تابع شامل تمامی اعداد حقیقی \((-\infty,\infty)\) می باشد.
برد این تابع عبارت از تمامی مقادیر \(y\) (مقادیر تابع) می باشد که با نقاط موجود در دامنۀ این تابع متناظر باشند. یعنی، تمامی مقادیر \(1+x^2\) در سرتاسر اعداد حقیقی. از آنجا که \(x^2 \ge 0\) است، بنابراین \(1 + x^2 \ge 1\) می شود. از اینرو، برد این تابع \([1,\infty)\) است.
سوال:
دامنه و بُرد تابع زیر را بیابید؟
\(f(x)=1+x^2\)
پاسخ کوتاه:
دامنه: \((-\infty, \infty)\)
بُرد: \([1, \infty)\)
راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین
راه حل 1:
در تابع \(f(x)=1 + x^2\) ما کسری نداریم که \(x\) در مخرج آن باشد، همچنین رادیکالی نداریم که احیاناً عدد زیر آن منفی گردد. بنابراین ساده است که نتیجه گیری کنیم تمامی اعداد حقیقی را می توانیم در این تابع جایگذاری کنیم. این یعنی دامنۀ این تابع \((-\infty, \infty)\) است.
در هنگام یافتن بُرد این تابع باید دقت کنیم که \(x\) به توان \(2\) رسیده است. می دانیم که هر عددی که به توان \(2\) برسد قطعاً مثبت خواهد بود و از این رو خروجی \(x^2\) همیشه مثبت است. از آنجا که این تابع \(1 + x^2\) است پس خروجی این تابع همواره بزرگتر از عدد \(1\) است. برای درک این موضوع فرض کنید مقدار صفر را در تابع جایگذاری کرده اید، خواهید داشت: \(f(0) = 1 + x^2 = 1 + (0)^2 = 1 + 0 = 1\). حتی اگر سعی کنید عددی منفی را در تابع جایگذاری کنید باز هم خروجی بزرگتر از \(1\) خواهد شد. به عنوان مثال با جایگذاری \(-5\) در این تابع خواهیم داشت: \(f(-5) = 1 + x^2 = 1 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26\). نتیجه گیری ما اینست که بُرد این تابع \([1, \infty)\) است.
راه حل 2:
فرمول \(y = 1 + x^2\) به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) یک عدد حقیقی می دهد.
بنابراین، دامنۀ این تابع \((-\infty, \infty)\) است.
به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) داریم: \(x^2 \ge 0\)، بنابراین به ازاء هر عدد حقیقی \(x\) خواهیم داشت: \(y=1+x^2 \ge 1\) .
بنابراین برد این تابع \([1, \infty)\) است.
راه حل 3:
چند مقدار از \(x\) را در این تابع جایگزین کنید و مقادیر \(y\) را بیابید.
با استفاده از آن نقاط نمودار تابع را بکشید؛ متوجه خواهید شد که یک تابع سهموی \(\text{(parabolic)}\) دارید.
دامنه عبارت از تمامی مقادیر \(x\) است که قرار دادن آنها در تابع مجاز می باشد. به عبارت دیگر، این تابع تا کجا می تواند به سمت راست یا چپ برود. از روی نمودار می توانیم ببینیم که این تابع می تواند تا ابد به سمت راست برود، همینطور تا ابد به سمت چپ نیز برود. بنابراین دامنۀ آن \((-\infty, \infty)\) است.
بُرد عبارت از تمامی مقادیر \(y\) است که از تابع بیرون می آید. به عبارت دیگر، این تابع تا کجا می تواند به سمت بالا یا پایین برود. از روی نمودار می توانیم ببینیم که این تابع می تواند تا ابد به سمت بالا برود، اما کمترین مقدار \(y\) آن \(1\) است. بنابراین بُرد این تابع \([1, \infty)\) است.
نکته: علامت کروشه \([\) در برد این تابع به معنای اینست که برد شامل خود عدد \(1\) هم می شود.
راه حل 4:
دامنۀ این تابع عبارت از تمامی مقادیر \(x\) می باشد که به ازاء آنها یک مقدار \(y\) داریم (یعنی به ازاء آنها تابع موجود است). از آنجا که این تابع یک چندجمله ای \(\text{(polynomial)}\) است و هیچ نقطه ای از محور \(x\) استثناء نشده است، بنابراین دامنۀ این تابع شامل تمامی اعداد حقیقی \((-\infty,\infty)\) می باشد.
برد این تابع عبارت از تمامی مقادیر \(y\) (مقادیر تابع) می باشد که با نقاط موجود در دامنۀ این تابع متناظر باشند. یعنی، تمامی مقادیر \(1+x^2\) در سرتاسر اعداد حقیقی. از آنجا که \(x^2 \ge 0\) است، بنابراین \(1 + x^2 \ge 1\) می شود. از اینرو، برد این تابع \([1,\infty)\) است.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: