آموزش ریاضی و فیزیک آموزش حسابان خوش آموز
مشتق گیری لگاریتمی
فرض کنید که می خواهید مشتق تابعی را که در ادامه آمده است بدست آورید. اکنون می توانید کل اینها را در یکدیگر ضرب کنید و سپس مشتق گیری کنید، اما این کار مشقت فراوانی خواهد داشت. یا همچنین می توانید از قاعدۀ ضرب (product rule) چندین مرتبه استفاده کنید، اما آنهم بسیار خسته کننده و زمانبر خواهد بود. گزینۀ بهتر اینست که از مشتق گیری لگاریتمی (Logarithmic Differentiation) استفاده کنید:
$$f(x)=(x^3-5)(3x^4...
مشتق گیری ضمنی
تمامی مسأله های مشتق گیری که در بخشهای پیشین این فصل ارائه شدند توابعی همچون \(y=x^2 + 5x\) یا \(y=\sin x\) بودند. در اینگونه موارد \(y\) صریحاً (explicitly) به عنوان تابعی از \(x\) نوشته می شود. این بدین معناست که معادلۀ مورد اشاره برای بدست آوردن \(y\) حل می شود؛ به عبارت دیگر، \(y\) به تنهایی، خودش یک سمت این معادله می باشد. (توجه کنید که \(y\) گاهی اوقات به شکل \(f(x)\) نوشته می شود، مانند \(f...
قوانین مشتق گیری برای حرفه ای ها
حالا که کاملاً بر روی قوانین پایه ایِ مشتق گیری مهارت یافته اید، برای دقیقه ای یک نفس عمیق بکشید و به دستاوردهای فعلی تان افتخار کنید ... اوکی، حالا برای یک چالش جدید آماده اید؟ قوانین زیر، مخصوصاً قاعدۀ زنجیری (chain rule)، می توانند سخت باشند. اما شما می دانید که آنها چه می گویند: "نابرده رنج، گنج میسر نمی شود."
...
قوانین پایه ای مشتق گیری
فصل 9 مفهوم اصلی اینکه یک مشتق چیست را به شما داد ـــ مشتق صرفاً یک نرخ مانند سرعت است و به سادگی شیب یک تابع است. مهم است که درک استوار و مستقیمی از این مفاهیم بنیادی داشته باشید.
شما همچنین هم اکنون شالودۀ ریاضی مشتق و تعریف فنی آن شامل حد در خارج قسمت تفاضلی را می دانید. اکنون، شاید برای گفتن چیزی که قصد گفتنش را دارم، برای همیشه از ورود به جمع ریاضیدانان ممنوع گردم، اما برای اینکه کاملاً صادق...
سه موردی که در آنجا مشتق وجود ندارد
من می خواهم در مورد سه وضعیتی بحث کنم که در آنجا مشتق وجود ندارد (در فصل 7 یک یادآور با نام 33333 مطرح کردیم که می توانید آن را مرور کنید). تا اینجای کار شما مطمئناً می دانید که مشتق یک تابع در یک نقطۀ خاص برابر با شیب خط مماس بر آن نقطه می باشد. بنابراین، اگر نتوانید یک خط مماس رسم کنید، در آنجا مشتقی وجود نخواهد داشت ـــ که در دو مورد اول زیر رخ داده است. در مورد سوم، یک خط مماس وجود دارد، اما ش...
نرخ میانگین و نرخ لحظه ای
دوباره به ارتباط بین شیب ها و نرخ ها باز می گردیم، شیب صرفاً نمایش بصری یک نرخ می باشد: شیب، \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) ، صرفاً به شما می گوید این نرخ در کدام \(y\) در مقایسه با \(x\) تغییر می کند. به عنوان مثال، اگر مختصات \(y\) مسافت پیموده شده (در واحد مایل) را به شما بگوید، و مختصات \(x\) زمان سپری شده (در واحد ساعت) را به شما بگوید، شما به نرخ آشنایِ مایل بر ساعت (miles per hour) می ر...
خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
شیپورها را به صدا در آورید! شما هم اکنون به جایی رسیده اید که شاید سنگ بنای حساب دیفرانسیل باشد: خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)، که پل ارتباطی بین حدها و مشتق می باشد. اما شما باید در اینجا صبور باشید، زیرا برای من چندین صفحه طول می کشد تا منطق پشت خارج قسمت تفاضلی را توضیح دهم تا بتوانم بعد از آن به شما نشان دهم که آن چیست. اوکی، پس هرچه پیش آید خوش آید. دوباره تکرار می کنم ـــ آیا متوجه ...
مشتق یک منحنی
بخش هایی که تا اینجای این فصل دیده اید شامل توابع خطی (linear functions) بودند ـــ خطهای راست با شیب بدون تغییر. اما اگر تمامی توابع و نمودارها خطهایی با شیب بدون تغییر می بودند، نیازی به حسابان نبود. مشتق تابع لورل و هاردی که پیشتر در همین فصل نمودارش را دیدید، برابر با \(2\) بود، اما برای تعیین شیب یک خط، نیازی به حسابان ندارید. حسابان ریاضیات تغییر است، بنابراین الان زمان خوبی برای پرداختن به م...
مشتق (Derivative)
در اینجا روش دیگری برای درک مفهوم یک مشتق داریم که حتی از مفهوم شیب بنیادی تر است: مشتق یک نرخ (rate) است. پس چرا من این فصل را با شیب آغاز کردم؟ زیرا شیب به برخی جهات ساده تر از این دو مفهوم است، و شیب مفهومی است که دوباره و دوباره در این کتاب و هر کتاب درسی حسابان دیگر، همچنان که به نمودار ده ها و ده ها تابع نگاه می کنید، به آن باز می گردید. اما قبل از اینکه به یک شیب برسید، به یک نرخ می رسید. ی...
مشتق گیری (Differentiation)
حساب دیفرانسیل (differential calculus) ریاضیات تغییر (change) و ریاضیات بی نهایت کوچک ها (infinitesimals) است. شما می توانید بگویید که آن ریاضیات تغییرات بی نهایت کوچک ها می باشد ـــ تغییراتی که در هر یک میلیاردیم ثانیه رخ می دهند.
بدون حساب دیفرانسیل (differential calculus) ـــ اگر شما صرفاً جبر (algebra)، هندسه (geometry)، و مثلثات (trigonometry) را داشته باشید ـــ شما محدود به ریاضیات چیزهای...
دسته بندی مطالب خوش آموز
