خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم

مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم
نویسنده : امیر انصاری
قورباغه ای که بر روی یک سنگ نشسته بود در برکه ای می پرد. ارتفاع قورباغه از سطح آب به سانتیمتر، \(h\)، به شکل تابعی از زمان در واحد ثانیه، \(s\)، از لحظه ای که او پرش کرده است را می توان با تابع \(h(t)=-490t^2+150t+25\) مُدلسازی کرد. هر جا که مناسب باشد، سوالات زیر را به نزدیکترین دهم پاسخ دهید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. نمودار این تابع را ترسیم کنید.
  2. عرض از مبدأ چه می باشد؟ در این وضعیت عرض از مبدأ نشان دهندۀ چه چیزی می باشد؟
  3. حداکثر ارتفاعی که این قورباغه به آن می رسد، چقدر می باشد؟ چه زمانی به این ارتفاع می رسد؟
  4. چه زمانی این قورباغه به سطح آب می رسد؟
  5. دامنه و برد این تابع چه می باشند؟
  6. بعد از سپری شدن \(0.25\) ثانیه از پرش، ارتفاع این قورباغه چقدر است؟

مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم

پاسخ


  1. روش 1: از یک ماشین حساب نموداری استفاده کنید


    تابعتان را در ماشین حساب نموداری وارد کنید و ابعاد نمودار را طوری تنظیم کنید تا رأس و تقاطع ها با محور \(x\) و \(y\) معلوم باشند.

    مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم

    روش 2: از یک نرم افزار صفحه گسترده (مانند اکسل) استفاده کنید


    شما می توانید با استفاده از یک نرم افزار صفحه گسترده، جدولی از مقادیر را تولید کنید. از روی این مقادیر می توانید نمودار را بسازید.

    مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم
  2. این نمودار نشان می دهد که عرض از مبدأ \(25\) می باشد. این مقدار \(h\) در \(t=0\) می باشد. نشان دهندۀ ارتفاع اولیه، \(25 \text{ cm}\)، می باشد، که قورباغه از آنجا پرش را آغاز کرده است.

    مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم
    عرض از مبدأ نمودار \(h(t)=-490t^2+150t+25\) برابر با مقدار جملۀ ثابت، یعنی \(25\)، می باشد.

  3. مختصات رأس، زمان و ارتفاعی را نشان می دهد که این قورباغه در طول این پرش به آن مقدار ماکزیمم می رسد. این نمودار نشان می دهد که بعد از گذشت تقریباً \(0.2 \text{ s}\) این قورباغه به ارتفاع تقریبیِ \(36.5 \text{ cm}\) می رسد. اگر این مقادیر را دقیقتر بخواهیم بگوییم بعد از \(0.153 \text{ s}\) به ارتفاع \(36.48 \text{ cm}\) می رسد.

    مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم
  4. طول از مبدأ مثبت زمانی را نشان می دهد که ارتفاع به \(0 \text{ cm}\) می رسد، یا زمانی که قورباغه به سطح آب می رسد. این نمودار نشان می دهد که قورباغه تقریباً در \(0.4 \text{ s}\) به سطح آب می رسد.

    مثال 2: تجزیه و تحلیل یک تابع درجه دوم
  5. دامنه عبارت از مجموعۀ تمامی مقادیر ممکن برای متغیر مستقل، یا زمان است.
    برد عبارت از مجموعۀ تمامی مقادیر ممکن برای متغیر وابسته، یا ارتفاع است.
    در این وضعیت مقادیر زمان و ارتفاع نمی توانند منفی باشند.
    دامنۀ این تابع برابر با تمامی اعداد حقیقی از \(0\) تا تقریباً \(0.4\) می باشند، یا \(\{ t| 0 \le t \le 0.4, t \in R \}\) .
    برد این تابع برابر با تمامی اعداد حقیقی از \(0\) تا تقریباً \(36.5\) می باشند، یا \(\{ h| 0 \le h \le 36.5, h \in R \}\) .

  6. ارتفاع این قورباغه بعد از سپری شدن \(0.25 \text{ s}\) برابر با مختصات \(h\) در \(t=0.25\) می باشد. این نمودار نشان می دهد که ارتفاع قورباغه بعد از \(0.25 \text{ s}\) تقریباً برابر با \(31.9 \text{ cm}\) می باشد.
    شما همچنین می توانید ارتفاع بعد از \(0.25 \text{ s}\) را با جایگذاریِ \(0.25\) برای \(t\) در \(h(t)=-490t^2+150t+25\) بدست آورید.
    $$
    h(t)=-490t^2+150t+25\\
    h(\color{red}{0.25})=-490(\color{red}{0.25})^2+150(\color{red}{0.25})+25\\\\
    h(0.25)=-30.625+37.5+25\\
    h(0.25)=31.875
    $$
    ارتفاع این قورباغه بعد از \(0.25 \text{ s}\) تقریباً برابر با \(31.9 \text{ cm}\) می باشد.

حالا نوبت شماست


یک غواص از یک سکوی پرشی \(3 \text{ m}\) با سرعت عمودیِ اولیۀ \(6.8 \frac{\text{m}}{\text{s}}\) می پرد. ارتفاع او در واحد متر از سطح آب، \(h\)، بعد از طی شدن \(t\) ثانیه را می توان با تابع \(h(t)=-4.9t^2+6.8t+3\) مدلسازی گردد.

  1. نمودار این تابع را ترسیم کنید.
  2. عرض از مبدأ این تابع چه چیزی را نشان می دهد؟
  3. این غواص به چه ماکزیمم ارتفاعی می رسد؟ چه زمانی او به این ارتفاع می رسد؟
  4. چقدر طول می کشد تا این غواص به آب اصابت کند؟
  5. چه دامنه و بردی برای این تابع مناسب می باشند؟
  6. بعد از سپری شدن \(0.6 \text{ s}\) از زمانی که او تختۀ شیرجه را ترک می کند، ارتفاع غواص چقدر می باشد؟

یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.