نویسنده : امیر انصاری

1. تابع درجه دومی در شکل استاندارد بنویسد تا مساحت این آغل را نشان دهد.
   
2. مختصات رأس نمودار این تابع چه می باشد؟ در این وضعیت رأس نشان دهندۀ چه چیزی می باشد؟
   
3. نمودار این تابع را ترسیم کنید.
   
4. دامنه و برد این وضعیت را تعیین کنید.
   
5. هر نوع مفروضاتی را که برای مدلسازی این وضعیت به صورت ریاضی در نظر گرفته اید، مشخص سازید.
   

پاسخ

1. \(l\) را بعنوان طول و \(w\) را بعنوان عرض و \(A\) را بعنوان مساحت این مستطیل در نظر بگیرید.
   
   
   فرمول \(\text{A=lw}\) سه متغیر دارد. برای ایجاد تابعی برای مساحت این مستطیل صرفاً با در نظر گرفتن عرض آن، شما می توانید از عبارتی برای طول به لحاظ عرض استفاده کنید تا طول را نادیده بگیرید. فرمول محیط این آغل برابر با \(P=2l+2w\) می باشد که معادلۀ \(2l+2w=100\) را نتیجه می دهد. با حل کردن این معادله برای بدست آوردن \(l\) به نتیجۀ \(l=50-w\) می رسید.
   $$
   A=lw\\
   A=(50-w)(w)\\
   A=50w-w^2
   $$
   
   
2. از معادلۀ \(x=p\) برای تعیین مختصات \(x\) رأس استفاده کنید.
   $$
   x=\frac{-b}{2a}\\
   x=\frac{\color{red}{-50}}{2(\color{red}{-1})}\\
   x=25
   $$
   مختصات \(x\) از رأس را در این تابع جایگذاری کنید تا مختصات \(y\) آن را بدست آورید.
   $$
   y=50x-x^2\\
   y=50(\color{red}{25}) - (\color{red}{25})^2\\
   y=625
   $$
   رأس در \((25,625)\) قرار گرفته است. مختصات \(y\) از رأس نشان دهندۀ ماکزیمم مساحت ممکن برای این مستطیل می باشد. مختصات \(x\) نشان دهندۀ عرضی می باشد که در ماکزیمم مساحت رخ می دهد.
   
   
3. در تابع \(f(x)=50x-x^2\) عرض از مبدأ برابر با نقطۀ \((0,0)\) می باشد. با استفاده از محور تقارن، نقطۀ متقارن با عرض از مبدأ برابر با \((50,0)\) می باشد. سهمی مربوطه را از این دو نقطه و همین طور در رأس \((25,625)\) ترسیم کنید.
   
   
   
4. عرض ها، طول ها، و مساحت های منفی در این وضعیت بی معنا هستند، بنابراین دامنه و برد این تابع محدود می شود.
   عرض این تابع برابر با هر عدد حقیقی از \(0\) تا \(50\) می باشد. دامنه این تابع برابر است با \(\{w| 0 \le w \le 50 ,w \in R \}\) .
   مساحت برابر با هر عدد حقیقی بین \(0\) تا \(625\) می باشد. برد این تابع برابر است با \(\{A| 0 \le A \le 625, A \in R \}\) .
   
   
5. این تابع درجه دوم مفروض می گیرد که گله دار مربوطه از تمامی فنس ها برای این آغل استفاده می کند. همچنین این تابع مفروض می گیرد که هر عرض یا طولی از \(0 \text{ m}\) تا \(50 \text{ m}\) شدنی باشد. در واقعیت، ممکن است محدودیت های دیگری در ابعاد این آغل وجود داشته باشد، بعنوان مثال مساحت زمین موجود و شکل زمین و موقعیت آن می توانند در شکل آغل تأثیر بگذارند.
   

حالا نوبت شماست

1. تابع درجه دومی در شکل استاندارد بنویسید که مساحت ناحیۀ پارکینگ کالسکه ها را نشان دهد.
   
2. مختصات رأس چه می باشند؟ رأس در این وضعیت نشان دهندۀ چه چیزی می باشد؟
   
3. نمودار این تابع را ترسیم کنید.
   
4. دامنه و برد این تابع را تعیین کنید.
   
5. هر نوع پیش فرضی را که در نظر گرفته اید مشخص سازید.