برای انجام این فعالیت به یک کاغذ شبکه ای یا فناوری ترسیم نمودار نیاز دارید.

بخش \(\text{A}\): مقایسۀ اشکال مختلف یک تابع درجه دوم

1. فرض کنید آدین (Adine) در حال فکر کردن به قیمت گذاری ماکلاک هایی (mukluks) - ماکلاک نوعی پوتین است - که در نمایشگاه صنایع دستی اش می فروشد، می باشد. سال گذشته او هر جفت ماکلاک را به قیمت \($400\) فروخت، و در مجموع موفق به فروش \(14\) جفت ماکلاک شد. او پیش بینی می کند که به ازاء هر \($40\) افزایش در قیمت، یک جفت کمتر خواهد فروخت. درآمد حاصل از فروش این ماکلاک ها، \(R(x)\)، برابر با \((\text{تعداد ماکلاک های فروخته شده}) \times (\text{قیمت هر ماکلاک})\) می باشد.
   جدول زیر را کامل کنید تا چگونگی تغییر درآمد امسال آدین، به ازاء هر افزایش قیمت یا هر کاهش قیمت به میزان \($40\) را مدلسازی کنید. این جدول را ادامه دهید تا ببینید اگر قیمت به افزایش یا کاهش اش ادامه دهد برای مجموع درآمد چه اتفاقی خواهد افتاد.
   
   
   
   \(\text{Number of Mukluks Sold}\): تعداد ماکلاک های فروخته شده
   \(\text{Cost Per Mukluk}\): قیمت هر ماکلاک
   \(\text{Revenue}\): درآمد
   
   
   
2. همینطور که قیمت تغییر می کند، متوجه چه الگویی در درآمد می شوید؟ چرا فکر می کنید این الگو رخ می دهد؟
   
   
3. اجازه دهید \(x\) نشان دهندۀ تعداد \($40\) افزایش ها باشد. یک تابع جبری ایجاد کنید که مجموع درآمد آدین را مدلسازی کند.
   
   1. عبارتی تعیین کنید که نشان دهندۀ قیمت ماکلاک ها باشد.
      
   2. عبارتی تعیین کنید که نشان دهندۀ تعداد ماکلاک های فروخته شده باشد.
      
   3. تابع درآمدی، \(R(x)\)، تعیین کنید که در آن \(R(x)=(\text{تعداد ماکلاک های فروخته شده})(\text{قیمت هر ماکلاک})\) باشد.
      
   4. \(R(x)\) را بسط دهید تا یک تابع درجه دوم در شکل استاندارد را نتیجه دهد.
      
4. 1. نمودار این درآمد را به شکل تابعی از تعداد تغییرات قیمت ترسیم کنید.
      
   2. ماکزیمم درآمد ممکن را که آدین می تواند انتظار داشته باشد، چقدر است؟
      
   3. چه قیمتی، ماکزیمم درآمد ممکن را به او می دهد؟
      
5. یکی از دوستان آدین، تابعی در شکل \(R(x)=-40(x-2)^2+5760\) را مشخص کرده است که در آن \(x\) نشان دهندۀ کاهش قیمت می باشد.
   
   1. این تابع را بسط دهید و آن را با تابع آدین مقایسه کنید. متوجه چه چیزی شدید؟
      
   2. کدام تابع درجه دوم شما را قادر می سازد تا بهترین قیمت و ماکزیمم درآمد را بدون ترسیم نمودار یا بدون ایجاد جدولی از مقادیر، تعیین کنید؟ توضیح دهید.
      

تأمل کنید و پاسخ دهید

6. 1. شکل نمودارتان در مرحلۀ \(4\) را در نظر بگیرید. چرا یک تابع درجه دوم، مدلی خوب برای استفاده در این گونه وضعیت ها می باشد؟ چرا یک تابع خطی برای مرتبط ساختن درآمد با تغییرات قیمت مناسب نمی باشد؟
      
   2. در این مدل چه مفروضاتی را در نظر گرفته اید تا فروش آدین را پیش بینی کنید؟ چرا ممکن است فروش واقعی او در نمایشگاه دقیقاً از پیش بینی های این مدل تبعیت نکند؟
      

بخش \(\text{B}\): کامل کردن مربع

برای انجام این فعالیت به کاشی های جبر (algebra tiles) نیاز دارید.

تابع درجه دوم ایجاد شده در مرحلۀ \(3\) از بخش \(\text{A}\)، در شکل استاندارد می باشد. تابع مورد استفاده در مرحلۀ \(5\) در شکل رأس می باشد. این توابع درجه دوم معادل یکدیگر می باشند و می توانند اطلاعات مختلفی فراهم آورند. شما می توانید با بسط دادن شکل رأس آن را به شکل استاندارد تبدیل کنید. چگونه می توانید شکل استاندارد را به شکل رأس تبدیل کنید؟

7. 1. کاشی های جبر را طوری انتخاب کنید که نشان دهندۀ عبارت \(x^2+6x\) باشند. آنها را مشابه تصویر زیر به شکل یک مربع ناقص سازماندهی کنید.
      
      
      
   2. برای کامل کردن این مربع چه کاشی هایی را باید به آن بیفزایید؟
      
   3. کدام سه جمله ای نشان دهندۀ این مربع کامل شدۀ جدید می باشد؟
      
   4. چگونه می توانید این سه جمله ای را در شکل فاکتورگیری شده به شکل مربعی از یک دوجمله ای بنویسید؟
      
8. 1. فعالیت موجود در مرحلۀ \(7\) را با هر کدام از عبارات موجود در لیست زیر تکرار کنید. نتایجتان را در یک شکل سازماندهی شده، ثبت کنید. برای هر عبارت یک طرح ضمیمه کنید.
      $$
      x^2+2x\\
      x^2+4x\\
      x^2+8x\\
      x^2+10x
      $$
      
   2. به این کار ادامه دهید تا در نهایت بتوانید به وضوح الگوی ظاهر شده را توصیف کنید. چه ارتباطی بین عبارت اصلی و کاشی های مورد نیاز برای کامل کردن مربع آن وجود دارد؟ توضیح دهید.
      
9. این فعالیت را تکرار کنید، اما این بار عباراتی را مدلسازی کنید که دارای جملۀ \(x\) منفی می باشند، مانند \(x^2-2x\)، \(x^2-4x\)، \(x^2-6x\)، و به همین ترتیب ادامه دهید.
   
10. 1. بدون استفاده از کاشی های جبری، پیش بینی کنید چه مقادیری را باید به عبارت \(x^2+32x\) بیفزایید تا آن را به شکل یک مربع کامل نشان دهید. کدام سه جمله ای، نشان دهندۀ این مربع کامل می باشد؟
       
    2. چگونه می توانید این سه جمله ای را در شکل فاکتورگیری شده به شکل مربع یک دوجمله ای بنویسید؟
       

تأمل کنید و پاسخ دهید

11. 1. کاشی های مورد نیاز برای کامل کردن هر مربع با عبارت اصلی چه ارتباطی دارند؟
       
    2. آیا اینکه جملۀ \(x\) در عبارت اصلی مثبت یا منفی باشد، مهم است؟ توضیح دهید.
       
    3. آیا شدنی است که برای عبارتی که جملۀ \(x\) آن دارای ضریبی فرد باشد، کامل کردن مربع را انجام دهید؟ تفکراتتان را توضیح دهید.
       
12. عبارات \(x^2+ \text{■}x + \text{▲}\) و \((x+\text{●})^2\) هر دو نشان دهندۀ مربع کامل یکسانی می باشند. توضیح دهید که چگونه مقادیر جا افتاده به یکدیگر مرتبطند.