نویسنده : امیر انصاری

1. $$
   f(x)=x^2+6x+5
   $$
   
2. $$
   f(x)=3x^2-12x-9
   $$
   
3. $$
   f(x)=-5x^2-70x
   $$
   

پاسخ

1. روش 1: مدلسازی با کاشی های جبری

   
   کاشی های جبری را طوری انتخاب کنید که چندجمله ای درجه دوم \(x^2+6x+5\) را نشان دهند.
   
   
   با استفاده از کاشی \(x^2\) و کاشی های \(x\)، یک مربع ناقص بسازید که دو جملۀ اول را نشان دهند. کاشی های واحد را فعلاً کنار بگذارید.
   
   
   برای کامل کردن مربع، نُه جفت صفر اضافه کنید. این نُه کاشی مثبت مربع را کامل می کنند و این نُه کاشی منفی برای ایجاد عبارتی معادل با عبارت اصلی ضرورت دارند.
   
   
   با حذف جفت های صفر، این عبارت را ساده سازی کنید.
   
   
   شما می توانید این مربع کامل را در شکل بسط یافته اش با \(x^2+6x+9\) نشان دهید، همچنین می توانید آن را به شکل مربع یک دوجمله ای، \((x+3)^2\)، نشان دهید. شکل رأس این تابع برابر با \(y=(x+3)^2-4\) می باشد.
   
   
   

   روش 2: استفاده از روش جبری

   
   در تابع \(y=x^2+6x+5\)، مقدار \(a\) برابر با \(1\) می باشد. برای کامل کردن مربع:
   
   • دو جملۀ اول را گروه بندی کنید
     
   • در داخل پرانتز، مربع نصف ضریب جملۀ \(x\) را هم اضافه کنید و هم تفریق کنید
     
   • سه جمله ایِ مربع کامل را گروه بندی کنید
     
   • سه جمله ای مربع کامل را به شکل مربع دوجمله ای بازنویسی کنید
     
   • ساده سازی کنید
     
   
   $$
   y=x^2+6x+5\\
   y=(x^2+6x)+5\\
   y=(x^2+6x+9-9)+5\\
   y=(x^2+6x+9)-9+5\\
   y=(x+3)^2-9+5\\
   y=(x+3)^2-4
   $$
   
   

2. روش 1: استفاده از کاشی های جبری

   
   کاشی های جبری را به نحوی انتخاب کنید که عبارت درجه دوم \(3x^2-12x-9\) را نشان دهند. از کاشی های \(x^2\) و کاشی های \(x\) برای ایجاد سه مربع ناکامل به شکل زیر استفاده کنید. کاشی های واحد را فعلاً کنار بگذارید.
   
   
   به اندازۀ کافی کاشی های واحد مثبت برای هر مربع اضافه کنید، همچنین به همان تعداد کاشی های منفی نیز اضافه کنید.
   
   
   با ترکیب کردن کاشی های واحد منفی، ساده سازی را انجام دهید.
   
   
   شما می توانید هر مربع کامل شده را به شکل \(x^2-4x+4\) نشان دهید، همچنین می توانید آن را به شکل \((x-2)^2\) نیز نشان دهید. از آنجا که سه تا از این مربع ها و \(21\) کاشی واحد منفی اضافی داریم، شکل رأس این تابع برابر با \(y=3(x-2)^2-21\) می باشد.
   
   

   روش 2: استفاده از روش جبری

   
   برای کامل کردن مربع، هنگامیکه ضریب پیش رو، \(a\)، برابر با \(1\) نمی باشد:
   
   • دو جملۀ اول را در یک گروه قرار دهید و ضریب پیش رو را فاکتور گیری کنید
     
   • در داخل پرانتز، مربع نصف ضریب جملۀ \(x\) را، هم بیفزایید و هم تفریق کنید
     
   • سه جمله ای مربع کامل را در یک گروه قرار دهید
     
   • سه جمله ای مربع کامل را به شکل مربع یک دو جمله ای بازنویسی کنید
     
   • پرانتزها را بسط دهید و ساده سازی را انجام دهید
     
   $$
   y=3x^2-12x-9\\
   y=3(x^2-4x)-9\\
   y=3 \bigl((x^2-4x+4)-4 \bigr)-9\\
   y=3 \bigl((x^2-2)^2-4 \bigr)-9\\
   y=3(x-2)^2-12-9\\
   y=3(x-2)^2-21
   $$
   
3. از فرآیند کامل کردن مربع برای تبدیل به شکل رأس استفاده کنید.
   $$
   y=-5x^2-70x\\
   y=-5(x^2+14x)\\
   y=-5(x^2+14x+49-49)\\
   y=-5 \bigl( (x^2+14x+49)-49\bigr)\\
   y=-5 \bigl( (x+7)^2-49\bigr)\\
   y=-5(x+7)^2+245
   $$
   

حالا نوبت شماست

1. $$
   y=x^2+8x-7
   $$
   
2. $$
   y=2x^2-20x
   $$
   
3. $$
   y=-3x^2-18x-24
   $$