نویسنده : امیر انصاری

1. روش کامل کردن مربع را بر روی این تابع بکار گیرید تا رأس و مقدار ماکزیمم یا مینیمم آن را تعیین کنید.
   
2. از فرآیند کامل کردن مربع برای بررسی ارتباط بین مقدار \(p\) در شکل رأس و مقادیر \(a\) و \(b\) در شکل استاندارد، استفاده کنید.
   
3. از ارتباط بدست آمده در بخش \(\text{b}\) برای تعیین رأس این تابع استفاده کنید. پاسختان را با پاسخ بدست آمده در بخش \(\text{a}\) مقایسه کنید.
   

پاسخ

1. $$
   y=5x^2+30x+41\\
   y=5(x^2+6x)+41\\
   y=5(x^2+6x+9-9)+41\\
   y=5 \bigl( (x^2+6x+9)-9 \bigr)+41\\
   y=5 \bigl( (x+3)^2 -9 \bigr) +41\\
   y=5(x+3)^2 - 45+41\\
   y = 5(x+3)^2 - 4
   $$
   شکل رأس این تابع، یعنی \(y=a(x-p)^2+q\)، ویژگی های نمودار آن را آشکار می سازد.
   رأس در نقطۀ \((p,q)\) قرار دارد. در تابع \(y=5(x+3)^2-4\)، داریم: \(p=-3\) و \(q=-4\). بنابراین رأس آن در \((-3,-4)\) قرار دارد. از آنجا که مقدار \(a\) مثبت است، نمودار آن رو به بالا باز می شود. از آنجا که این نمودار از رأس آن رو به بالا باز می شود، این تابع در \(x=-3\) دارای مقدار مینیمم \(-4\) می باشد.
   
   
2. به مراحل کامل کردن مربع نگاهی دوباره بیندازید.
   $$
   y=ax^2+bx+41
   $$
   \(b\) تقسیم بر \(a\)، ضریب \(x\) داخل پرانتز را نتیجه می دهد.
   $$
   y=5x^2+30x+41
   $$
   \(6\) برابر با \(\frac{30}{5}\) یا \(\frac{b}{a}\) است.
   $$
   y=5(x^2+6x)+41\\
   \vdots
   $$
   نصف ضریب \(x\) داخل پرانتز مقدار \(p\) در شکل رأس را به ما می دهد.
   $$
   y=5(x+3)^2-4\\
   y=5(x-p)^2-4
   $$
   \(3\) برابر است با نصف \(6\) یا نصف \(\frac{b}{a}\) یا \(\frac{b}{2a}\)
   با در نظر گرفتن مراحل کامل کردن مربع، مقدار \(p\) در شکل رأس برابر است با \(-\frac{b}{2a}\) . در هر تابع درجه دوم در شکل استاندارد، معادلۀ محور تقارن برابر است با \(x=-\frac{b}{2a}\) .
   
   
3. مختصات \(x\) رأس را با استفاده از \(x=-\frac{b}{2a}\) تعیین کنید.
   $$
   x=-\frac{30}{2(5)}\\
   x=-\frac{30}{10}\\
   x=-3
   $$
   با جایگذاری مختصات \(x\) در تابع، مختصات \(y\) رأس را نیز بدست آورید.
   $$
   y=5(\color{red}{-3})2+30(\color{red}{-3})+41\\
   y=5(9)-90+41\\
   y=45-90+41\\
   y=-4
   $$
   رأس در \((-3,-4)\) قرار دارد.
   این مختصات با مختصات بدست آمده برای رأس در بخش \(\text{a}\) یکسان می باشد.
   

حالا نوبت شماست

1. بر روی این تابع روش کامل کردن مربع را بکار گیرید تا رأس نمودار را تعیین کنید.
   
2. از \(x=-\frac{b}{2a}\) و شکل استاندارد تابع برای تعیین رأس آن استفاده کنید. پاسخ بدست آمده را با پاسخ قبلی در بخش \(\text{a}\) مقایسه کنید.