انجمن دانش آموزان در یک دبیرستان، در حال برنامه ریزی یک رویداد جمع آوری اعانه همراه با یک عکاس حرفه ای که از افراد یا گروه هایی از افراد عکس می گیرد، می باشند. انجمن دانش آموزی برای هر جلسه ای که طی آن یک عکس انفرادی یا یک عکس گروهی گرفته می شود، هزینه ای را دریافت می کند. سال گذشته آنها به ازاء هر جلسه \($10\) هزینه تعیین کردند و \(400\) جلسه رزرو شد. با توجه به قیمتی که امسال باید تعیین کنند، اعضای این انجمن دانش آموزی تخمین می زنند که به ازاء هر \($1\) افزایش در قیمت، انتظار دارند که \(20\) جلسه کمتر رزرو گردد.

1. تابعی بنویسید که این وضعیت را مدلسازی کند.
   
2. بر مبنای این تخمین، ماکزیمم درآمدی که آنها می توانند انتظار داشته باشند، چقدر است؟ چه قیمتی منجر به این ماکزیمم درآمد می شود؟
   
3. چگونه می توانید صحت این پاسخ را بررسی کنید؟
   
4. برای ایجاد و استفاده از این تابع مدلسازی شده، چه پیش فرض هایی را در نظر می گیرید؟
   

پاسخ

1. قیمت اولیه \($10\) به ازاء هر جلسه می باشد و میزان افزایش قیمت \($1\) می باشد.
   اجازه دهید \(n\) نشان دهندۀ تعداد دفعات افزایش قیمت باشد. قیمت جدید برابر با \($10\) بعلاوۀ تعداد دفعات افزایش قیمت ضربدر \($1\)، یا \(10 + 1n\)، یا اگر ساده تر بگوییم برابر با \(10+n\) خواهد بود.
   تعداد جلسات رزرو شدۀ اصلی برابر با \(400\) جلسه می باشد. تعداد جلسات عکاسیِ جدید برابر با \(400\) منهایِ تعداد افزایش قیمت ضربدر \(20\)، یا \(400-20n\) خواهد بود.
   اجازه دهید \(R\) نشان دهندۀ درآمد مورد انتظار در واحد دلار باشد. درآمد به شکل حاصلضرب قیمت هر جلسه در تعداد جلسات محاسبه می شود.
   $$
   \text{Revenue} = (\text{price})(\text{number of sessions})
   $$
   
   \(\text{Revenue}\): درآمد
   \(\text{price}\): قیمت
   \(\text{number of sessions}\): تعداد جلسات
   
   $$
   R=(10+n)(400-20n)\\
   R=4000+200n+20n^2\\
   R=-20n^2+200n+4000
   $$
   
2. از روش کامل کردن مربع برای تعیین ماکزیمم درآمد و همینطور قیمتی که منجر به ماکزیمم درآمد می شود، استفاده کنید.
   $$
   R=-20n^2+200n+4000\\
   R=-20(n^2-10n)+4000\\
   R=-20(n^2-10n+25-25)+4000\\
   R=-20 \bigl( (n^2-10n+25)-25 \bigr)+4000\\
   R=-20 \bigl( (n-5)^2 -25 \bigr) +4000\\
   R = -20(n-5)^2 + 500 +4000\\
   R=-20(n-5)^2 + 4500
   $$
   شکل رأس این تابع نشان می دهد که رأس آن در \((5,4500)\) قرار دارد. هنگامیکه \(n=5\) باشد، یا بعبارت دیگر هنگامیکه \(5\) افزایش به میزان \($1\) در قیمت صورت پذیرد، درآمد، \(R\)، در مقدار ماکزیممش یعنی \($4500\) دلار قرار خواهد داشت. بنابراین، قیمت هر جلسه باید \(10+5\) یا \($15\) باشد.
   
   
3. شما می توانید با استفاده از فناوری (ماشین حسابهای نموداری) نمودار این تابع در شکل استاندارد را ترسیم کنید تا صحت پاسختان را بررسی کنید.
   رأس این نمودار در \((5,4500)\) قرار گرفته است. این نشان می دهد که ماکزیمم درآمد \($4500\)، زمانی محقق می شود که پنج بار افزایش قیمت داشته باشیم، یا بعبارتی قیمت هر جلسه برابر با \($15\) باشد.
   شما همچنین می توانید بصورت عددی و با کمک جدولی از مقادیر صحت پاسختان را بررسی کنید. جدول زیر نشان می دهد که ماکزیمم درآمد \($4500\) زمانی رخ می دهد که پنج افزایش قیمت داشته باشیم، یا بعبارتی قیمت هر جلسۀ عکاسی برابر با \($15\) باشد.
   
   
4. قیمتی که انجمن دانش آموزی تعیین می کند بر روی درآمد آنها در این رویداد جمع آوری اعانه، مشابه آنچه که آنها در این مدل پیش بینی کرده اند، تأثیر گذارد.
   این مدل فرض می گیرد که قیمت بر روی میزان درآمد تأثیر می گذارد. تابع درآمد در این وضعیت مبتنی بر اطلاعات جلسات رزرو شده در سال گذشته و پیش بینی اینست که چگونه تغییرات قیمت ممکن است بر روی این درآمد تأثیر بگذارد. با این حال فاکتورهای دیگری نیز ممکن است بر روی درآمد سال جاری تأثیر بگذارد، مانند:
   
   • اینکه افراد در سال گذشته از عکس هایشان چقدر راضی بوده اند و اینکه آیا آنها به سایرین در این باره گفته اند یا خیر
     
   • اینکه انجمن دانش آموزی امسال چقدر این رویداد را تبلیغ می کند
     
   • اینکه آیا عکاس همان عکاس سال گذشته باشد یا اینکه تغییر کرده باشد
     
   • تاریخ، زمان، و مدتی که برای این رویداد انتخاب شده است
     

حالا نوبت شماست

یک فروشگاه کالاهای ورزشی، قمقمه های آب را به قیمت \($8\) می فروشد. با این قیمت، فروش هفتگی آنها تقریباً \(100\) عدد می باشد. تحقیقات می گوید که به ازاء هر \($2\) افزایش قیمت، مدیر این مجموعه می تواند این انتظار را داشته باشد که پنج قمقمه کمتر بفروشد.

1. این وضعیت را با یک تابع درجه دوم نشان دهید.
   
2. مبتنی بر این تخمین، ماکزیمم درآمدی را که مدیر این فروشگاه می تواند انتظار داشته باشد، تعیین کنید. چه قیمت فروشی منجر به این ماکزیمم درآمد می شود؟
   
3. صحت پاسختان را بیازمایید.
   
4. هر نوع پیش فرضی را که در استفاده از این تابع درجه دوم در این وضعیت، در نظر گرفته اید، توضیح دهید.