از آستین و یوری خواسته شده است تا تابع \(y=-6x^2+72x-20\) را به شکل رأس تبدیل کنند. پاسخ های آنها در ادامه نشان داده شده است.


پاسخ آستین:


$$
y=-6x^2+72x-20\\
y=-6(x^2+12x)-20\\
y=-6(x^2+12x+36-36)-20\\
y=-6 \biggl( (x^2+12x+36)-36 \biggr)-20\\
y=-6 \biggl( (x+6)-36 \biggr)-20\\
y=-6(x+6)+216-20\\
y=-6(x+6)+196
$$
پاسخ یوری:
$$
y=-6x^2+72x-20\\
y=-6(x^2-12x)-20\\
y=-6(x^2-12x+36-36)-20\\
y=-6 \biggl( (x^2-12x+36)-36 \biggr)-20\\
y= -6\biggl( (x-6)^2-36 \biggr)-20\\
y=-6 (x-6)^2 - 216 - 20\\
y=-6(x-6)^2 +236
$$

1. هر نوع خطایی را که در پاسخ های آستین و یوری می بینید، شناسایی کنید، توضیح دهید و تصحیحشان کنید.
   
2. نه آستین و نه یوری، هیچکدام پاسخ هایشان را درست آزمایی نکرده اند. چندین روش که آنها بتوانند با آن پاسخهایشان را درست آزمایی کنند، نشان دهید. مشخص سازید چگونه هر کدام از این روش ها نادرستی پاسخ ها را نشان می دهد.
   

پاسخ

1. برای درک بهتر اشتباهات آستین و یوری، راه حل صحیح را ابتدا می آوریم:
   $$
   y=-6x^2+72x-20\\
   y=-6(x^2-12x)-20\\
   y=-6(x^2-12x+36-36)-20\\
   y=-6\biggl( (x^2-12x+36)-36 \biggr)-20\\
   y=-6(x-6)^2+216-20\\
   y=-6(x-6)^2+196
   $$
   در پاسخ آستین:
   در خط دوم، در فاکتورگیری اشتباه کرده است، خط دوم به شکل صحیح اینگونه است: \(y=-6(x^2-12x)-20\)
   در خط پنجم در تبدیل سه جمله ایِ مربع کامل به مربع دوجمله ای نیز اشتباه کرده است و فراموش کرده است که آن را به توان \(2\) برساند.
   در پاسخ یوری:
   در خط ششم، اشتباه کرده است و \(-6\) را به درستی توزیع نکرده است.
   
   
2. برای درست آزمایی پاسخ ها می توانید به صورت جبری عملیات را رو به عقب پیش بروید تا از پاسخ (شکل رأس) به شکل استاندارد اولیۀ تابع درجه دوم برسید.
   همچنین می توانید نمودار هر دو شکل تابع را به کمک فناوری ترسیم کنید و مقایسه کنید که هر دو نمودار کاملاً یکسان باشند.
   از آنجا که آستین و یوری هر دو اشتباه کرده اند، در صورت استفاده از هر کدام از این روش های درست آزمایی متوجه خواهند شد که پاسخشان صحیح نمی باشد.