محدودۀ اصلی پل معلّق رودخانۀ "پیس" (Peace) (به معنای رودخانۀ صُلح) در شهر "دان وِگان" (Dunvegan) از ایالت "آلبرتا" (Alberta)، دارای کابل های نگهدارنده ای در شکل سهمی می باشد. فاصلۀ بین بُرج های آن \(274 \text{ m}\) می باشد. فرض کنید، انتهای این کابل هایی که به نوک این برج های نگهدارنده متصل شده اند، در ارتفاع \(52 \text{ m}\) از سطح آب قرار دارند، و پایینترین نقطه این کابل ها \(30 \text{ m}\) بالای سطح آب قرار دارد.

1. در هر کدام از حالت های زیر تابع درجه دومی را تعیین کنید که نشان دهندۀ شکل این کابل ها باشد:
   
   1. اگر مبدأ مختصات در پایینترین نقطۀ این کابل ها باشد
      
   2. اگر مبدأ مختصات در نقطه ای در سطح آب باشد که مستقیماً زیر پایینترین نقطۀ این کابل ها قرار گرفته است
      
   3. اگر مبدأ مختصات در پایۀ برج سمت چپ باشد
      
2. آیا این تابع درجه دوم در دوره ای از سال که فصل ها تغییر می کنند، تغییر می کند؟ توضیح دهید.
   

پاسخ

1. 1. موقعیت مبدأ برابر با پایینترین نقطه در مرکز این کابل ها می باشد. اجازه دهید \(x\) و \(y\) به ترتیب نشان دهندۀ مسافت های افقی و عمودی از پایینترین نقطۀ این کابل ها باشند. آن گاه رأس در \((0,0)\) قرار خواهد داشت و این تابع درجه دوم در شکل \(y=ax^2\) خواهد بود. از روی نمودار، نقطۀ دیگری بر روی این سهمی برابر با \((137,22)\) خواهد بود. از مختصات این نقطه برای یافتن \(a\) استفاده کنید.
      $$
      \color{red}{22}=a(\color{red}{137})^2\\
      22=18769a\\
      a=\frac{22}{18769}
      $$
      تابع درجه دومی که نشان دهندۀ شکل این تابع می باشد برابر با \(y=\frac{22}{18769}x^2\) است.
      
      
   2. در این حالت رأس در \((0,30)\) قرار دارد. در این حالت تابع درجه دوم در شکل \(y=ax^2+30\) خواهد بود. با مختصات نقطۀ دیگری بر روی نمودار، \((137,52)\)، و جایگزینی آن در تابع، \(a\) را بدست می آوریم:
      $$
      \color{red}{52} = a(\color{red}{137})^2+30\\
      22=18769a\\
      a=\frac{22}{18769}
      $$
      تابع درجه دومی که نشان دهندۀ شکل این تابع است: \(y=\frac{22}{18769}x^2+30\)
      
      
   3. در این حالت رأس در \((137,30)\) قرار دارد. شکل این تابع \(y=a(x-137)^2+30\) است. با جایگزینی نقطۀ \((0,52)\) در آن مقدار \(a\) را بدست می آوریم:
      $$
      \color{red}{52}=a(\color{red}{0}-137)^2+30\\
      22=18769a\\
      a=\frac{22}{18769}
      $$
      تابع درجه دومی که نشان دهندۀ شکل این تابع است: \(y=\frac{22}{18769}(x-137)^2+30\)
      
      
2. بله. در فصل های گرم و سرد طول این کابل ها تغییر می کنند، بنابراین تابع نیز تغییر خواهد کرد.