مدیر فروشگاه مد یاسمین در حال تحقیق و بررسی بر روی تأثیر افزایش یا کاهش قیمت لباس ها بر روی درآمد روزانۀ فروش لباس ها می باشد. تابع \(R(x)=100+15x-x^2\) درآمد این فروشگاه ، \(R\)، در واحد دلار، و \(x\) تغییر قیمت در واحد دلار می باشد. چه تغییر قیمت هایی منجر به هیچ درآمدی نمی گردند؟

پاسخ

هنگامی که هیچ درآمدی در میان نباشد، \(R(x)=0\) خواهد بود. برای تعیین تغییرات قیمتی که منجر به هیچ درآمدی نمی شوند، معادلۀ درجه دوم \(0 = 100+15x-x^2\) را حل کنید.

نمودار تابع درآمد متناظر این معادله را ترسیم کنید. در این نمودار، طول از مبدأها با تغییرات قیمتی که منجر به هیچ درآمدی نمی شوند، متناظر خواهند بود.

روش 1: از کاغذ و قلم استفاده کنید

جدولی از مقادیر بسازید. جفت نقاط هماهنگ با یکدیگر را بر روی محور مختصات مشخص سازید و از آنها برای ترسیم نمودار این تابع استفاده کنید.


به نظر می رسد این سهمی در نقاط \((-5,0)\) و \((20,0)\) از محور \(x\) عبور می کند. طول از مبدأهای این نمودار، یا صفرهای این تابع، برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند. از این رو، ریشه های این معادله برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند.

روش 2: استفاده از صفحۀ گسترده

در یک برنامۀ صفحه گسترده (مانند اکسل)، جدول مقادیر نشان داده شده در تصویر زیر را وارد کنید. سپس از ویژگیِ نمودار در آن برنامۀ صفحۀ گسترده استفاده کنید.


این نمودار در نقاط \((-5,0)\) و \((20,0)\) از محور \(x\) عبور می کند. طول از مبدأهای این نمودار، یا صفرهای این تابع، برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند. از این رو، ریشه های این معادله برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند.

روش 3: از یک ماشین حساب نموداری استفاده کنید

با استفاده از یک ماشین حساب نموداری، نمودار این تابع درآمد را ترسیم کنید. پنجرۀ این نمودار را طوری تنظیم کنید که رأس این سهمی و طول از مبدأهای آن را ببینید. از ردیابی نمودار یا ویژگی تابع صفر برای تعیین طول از مبدأهای این سهمی استفاه کنید.


این نمودار در نقاط \((-5,0)\) و \((20,0)\) از محور \(x\) عبور می کند. طول از مبدأهای این نمودار، یا صفرهای این تابع، برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند. از این رو، ریشه های این معادله برابر با \(-5\) و \(20\) می باشند.

درست آمایی روش های 1، 2، و 3

مقادیر \(x=-5\) و \(x=20\) را در معادلۀ \(0 = 100 + 15x-x^2\) جایگذاری کنید.
$$
0=100+15x-x^2\\
\text{ }\\[2ex]
0=100+15(\color{red}{-5})-(\color{red}{-5})^2\\
0=100-75-25\\
0=0\\
\text{ }\\[2ex]
0=100+15(\color{red}{20})-(\color{red}{20})^2\\
0=100+300-400\\
0=0
$$
هر دو پاسخ بدست آمده صحیح می باشند. افزایش قیمت یک لباس به \(20$\) یا کاهش آن به \($5\) منجر به هیچ درآمدی نخواهد شد.

حالا نوبت شماست

مدیر فروشگاه مُد سوزی تعیین کرده است که تابع \(R(x)=600-6x^2\) درآمد هفتگی مورد انتظار او را مدلسازی می کند. در این تابع \(R\) درآمد هفتگی حاصل از فروش سوئیشرت ها در واحد دلار، و \(x\) تغییرات قیمت می در واحد دلار باشد. چه افزایش یا کاهش قیمتی منجر به هیچ درآمدی نمی شود؟