خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مرتبط ساختن مفاهیم: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری

مرتبط ساختن مفاهیم: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری
نویسنده : امیر انصاری

فاکتورگیری از عبارات درجه دوم



سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
برای فاکتورگیری یک سه جمله ای در شکل \(ax^2+bx+c\) که در آن \(a \ne 0\)، ابتدا اگر میسر باشد عامل های مشترک را فاکتورگیری می کنیم.



برای مثال:
$$
\begin{array}{c c c}
4x^2-2x-12 & = & 2(2x^2-x-6) \\
& = & 2(2x^2-4x+3x-6)\\
& = & 2\bigl( 2x(x-2) + 3(x-2) \bigr)\\
& = & 2(x-2)(2x+3)\\
\end{array}
$$

یادداشت مترجم: در این مثال برای فاکتور گیری عبارت داخل پرانتز، \((2x^2-x-6)\)، از روش فاکتور گیری با استفاده از روش گروه بندی استفاده شده است. در این روش دنبال دو عددی می گردیم که حاصلضرب آنها برابر با مقدار ثابت ضربدر ضریب جملۀ درجه دوم، یعنی \(c\) ضربدر \(a\) در شکل \(ax^2+bx+c\) باشد و حاصل جمع آنها نیز برابر با ضریب جملۀ \(x\) یعنی \(b\) در شکل \(ax^2+bx+c\) باشد. با این احتساب ما دنبال دو عددی خواهیم بود که حاصلضرب آنها برابر با \((2)(-6)=-12\) و حاصلجمع آنها برابر با \(-1\) باشد که این دو عدد \(-4\) و \(3\) می باشند. به کمک این دو عدد جملۀ \(x\) را بازنویسی می کنیم. یعنی: \(-x=-4x+3x\) و بقیۀ چندجمله ای را دست نخورده نگه می داریم. هم اکنون چهار جمله داریم که آنها را در دو گروه دو جمله ای دسته بندی کرده و فاکتور گیری می کنیم. برای درک بهتر مراحل این کار را در زیر می بینید:
$$
2x^2-x-6\\
2x^2-4x+3x-6\\
(2x^2-4x)+(3x-6)\\
2x(x-2)+3(x-2)\\
(x-2)(2x+3)
$$

شما می توانید سه جمله ای های مربع کامل در شکل \((ax)^2+2abx+b^2\) و در شکل \((ax)^2-2abx+b^2\) را به ترتیب به شکل \((ax+b)^2\) و \((ax-b)^2\) فاکتورگیری کنید.

برای مثال:
$$
4x^2+12x+9=(2x+3)(2x+3)\\
=(2x+3)^2
$$
$$
9x^2-24x+16=(3x-4)(3x-4)\\
=(3x-4)^2
$$
شما می توانید تفاضل بین دو مربع، \((ax)^2-(by)^2\)، را به \((ax-by)(ax+by)\) فاکتور گیری کنید.
برای مثال:
$$
\frac{4}{9}x^2-16y^2=\biggl( \frac{2}{3}x - 4y \biggr)\biggl( \frac{2}{3}x+4y \biggr)
$$

فاکتورگیری از چندجمله ای هایی که الگوی دوجمله ای دارند


شما می توانید این الگوهای ایجاد شده برای فاکتور گیری سه جمله ای ها و تفاضل دو مربع را بسط دهید تا چندجمله ایهایی را که در شکل درجه دوم هستند را فاکتورگیری کنید. شما می توانید یک چندجمله ای در شکل \(a(P)^2+b(P)+c\) که در آن \(P\) هر عبارتی باشد را به شرح زیر فاکتورگیری کنید:

  • با عبارت \(P\) به شکل یک تک متغیر، مثلاً \(r\)، برخورد کنید و اجازه دهید \(r=P\) باشد.
  • به همان شکل که قبلاً فاکتورگیری می کردید، فاکتورگیری کنید.
  • متغیرِ \(r\) جایگزین شده را، با با عبارت \(P\) عوض کنید.
  • عبارت را ساده سازی کنید.

به عنوان مثال در \(3(x+2)^2-13(x+2)+12\)، \(r\) را جایگزین \(x+2\) کنید و عبارت حاصله یعنی \(3r^2-13r+12\) را فاکتورگیری کنید.
$$
3r^2-13r+12=(3r-4)(r-3)
$$
هنگامی که عبارتی که در آن \(r\) وجود دارد فاکتورگیری شد، می توانید \(x+2\) را به سرجای اولش برگردانید و جایگزین \(r\) کنید.
عبارت نهایی اینگونه خواهد بود:
$$
\bigl( 3(\color{red}{x+2})-4 \bigr)\bigl( (\color{red}{x+2})-3 \bigr)\\
=(3x+6-4)(x-1)\\
=(3x+2)(x-1)
$$
شما می توانید یک چندجمله ای در شکل تفاضل بین دو مربع که در آن \(P\) و \(Q\) هر عبارتی باشند را به شکل زیر فاکتور گیری کنید:
$$
P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)
$$
برای مثال:
$$
(3x+1)^2-(2x-3)^2\\
=\bigl( (3x+1)-(2x-3) \bigr) \bigl( (3x+1)+(2x-3) \bigr)\\
=(3x+1-2x+3)(3x+1+2x-3)\\
=(x+4)(5x-2)
$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.