خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مثال 3: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری

مثال 3: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری
نویسنده : امیر انصاری
ریشه های معادلات درجه دوم زیر را تعیین کنید. پاسخ هایتان را درست آزمایی کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. $$
    x^2+6x+9=0
    $$
  2. $$
    x^2+4x-21=0
    $$
  3. $$
    2x^2-9x-5=0
    $$

پاسخ


  1. برای حل کردن معادلۀ \(x^2+6x+9=0\)، فاکتورهای آن را تعیین کنید و سپس آن فاکتورها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید. این معادله الگویِ سه جمله ایِ مربع کامل را دارد.
    $$
    x^2+6x+9=0\\
    (x+3)(x+3)=0\\
    \text{ }\\[2ex]
    (x+3)=0\\
    x=-3
    $$
    این معادله دو ریشۀ حقیقی دارد. از آنجا که هر دوی این ریشه ها برابر می باشند، آنها را می توان به شکل یک ریشۀ مجزا نشان داد. برای درست آزمایی، پاسخ بدست آمده را در معادلۀ اصلی جایگذاری کنید.
    $$
    x=-3\\
    x^2+6x+9=0\\
    (\color{red}{-3})^2+6(\color{red}{-3})+9=0\\
    9-18+9=0\\
    18-18=0\\
    0=0
    $$
    پاسخ بدست آمده صحیح می باشد. ریشه های این معادله برابر با \(-3\) و \(-3\) می باشند، یا فقط \(-3\) می باشد.

  2. برای حل کردن معادلۀ \(x^2+4x-21=0\)، ابتدا فاکتورها را تعیین کنید و سپس آن ها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید.
    $$
    x^2+4x-21=0\\
    (x-3)(x+7)=0
    $$
    هر کدام از این فاکتورها را برابر با صفر قرار دهید و آنها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید.
    $$
    x-3=0\\
    x=3\\
    \text{ }\\[2ex]
    x+7=0\\
    x=-7
    $$
    این معادله دو ریشۀ حقیقیِ مجزا دارد. آنها را با جایگذاری هر راه حل در معادلۀ درجه دوم اصلی، درست آزمایی کنید.
    $$
    x^2+4x-21=0\\
    (\color{red}{3})^2+4(\color{red}{3})-21=0\\
    9+12-21=0\\
    0=0\\
    \text{ }\\[2ex]
    x^2+4x-21=0\\
    (\color{red}{-7})^2+4(\color{red}{-7})-21=0\\
    49-28-21=0\\
    0=0
    $$
    هر دو پاسخ بدست آمده صحیح می باشند. ریشه های این معادلۀ درجه دوم برابر با \(3\) و \(-7\) می باشند.

  3. برای حل کردن معادلۀ \(2x^2-9x-5=0\)، ابتدا فاکتورهای آن را تعیین کنید، و سپس آن ها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید.

    روش 1: فاکتورگیری با آزمایش


    \(2x^2\) حاصلضرب جملات اول می باشد، و \(-5\) حاصلضرب جملات دوم می باشد.
    $$
    2x^2-9x-5=(2x+\text{___})+(x+\text{___})
    $$
    آخرین جمله، یعنی \(-5\)، عددی منفی می باشد. بنابراین، یکی از فاکتورهای \(-5\) باید منفی باشد. فاکتورهایی از \(-5\) را امتحان کنید به نحویکه مجموع حاصلضرب های جملات بیرونی و درونی برابر با \(-9x\) باشد.
    مثال 3: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری
    \(\text{Factors of}\): فاکتورهایی از
    \(\text{Product}\): حاصلضرب
    \(\text{Middle Term}\): جملۀ میانی
    \(\text{is not the correct middle term.}\): جملۀ صحیح نمی باشد
    \(\text{Correct}\): صحیح
    بنابراین، \(2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)\) .
    $$
    2x^2-9x-5=0\\
    (2x+1)(x-5)=0
    $$
    هر کدام از این فاکتورها را برابر با صفر قرار دهید و آن را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید:
    $$
    2x+1=0\\
    2x=-1\\
    x=-\frac{1}{2}\\
    \text{ }\\[2ex]
    x-5=0\\
    x=5
    $$
    ریشه های این معادله برابر با \(-\frac{1}{2}\) و \(5\) می باشند.

    روش 2: فاکتورگیری با گروه بندی


    دو عدد صحیح بیابید که حاصلضرب آنها \((2)(-5)=-10\) و حاصلجمع آنها \(-9\) باشد.
    مثال 3: حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری
    اکنون \(-9x\) را به شکل \(x-10x\) بازنویسی کنید. سپس با روش گروه بندی فاکتورگیری کنید.
    $$
    2x^2-9x-5=0\\
    2x^2+x-10x-5=0\\
    (2x^2+x)+(-10x-5)=0\\
    x(2x+1)-5(2x+1)=0\\
    (2x+1)(x-5)=0
    $$
    هر فاکتور را برابر با صفر قرار دهید و آن را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید.
    $$
    2x+1=0\\
    2x=-1\\
    x=-\frac{1}{2}\\
    \text{ }\\[2ex]
    x-5=0\\
    x=5
    $$
    ریشه های این معادله برابر با \(-\frac{1}{2}\) و \(5\) می باشند.

    درست آزمایی برای هر دو روش 1 و 2
    این معادله دو ریشۀ حقیقیِ مجزا دارد. با جایگذاری این ریشه ها در معادلۀ اصلی، پاسخ های بدست آمده را درست آزمایی کنید.
    $$
    2x^2-9x-5=0\\
    2\bigl( \color{red}{-\frac{1}{2}} \bigr) - 9 \bigl( \color{red}{-\frac{1}{2}} \bigr) -5 =0\\
    2(\frac{1}{4}) + \frac{9}{2} -5 = 0\\
    \frac{1}{2}+\frac{9}{2} - \frac{10}{2} = 0\\
    0 = 0\\
    \text{ }\\[2ex]
    2x^2-9x-5=0\\
    2(\color{red}{5})^2-9(\color{red}{5})-5=0\\
    50 - 45 - 5 =0\\
    0=0
    $$
    هر دو پاسخ بدست آمده صحیح می باشند.
    ریشه های این معادله برابر با \(-\frac{1}{2}\) و \(5\) می باشند.

حالا نوبت شماست


ریشه های معادلات درجه دوم زیر را تعیین کنید.

  1. $$
    x^2-10x+25=0
    $$
  2. $$
    x^2-16=0
    $$
  3. $$
    3x^2-2x-8=0
    $$

یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.