مفاهیم کلیدی حل کردن معادلات درجه دوم با فاکتورگیری

نویسنده : امیر انصاری

شما می توانید برخی از معادلات درجه دوم را با فاکتورگیری حل کنید.
اگر حاصلضرب دو فاکتور از یک معادلۀ درجه دوم برابر با صفر باشد، آن گاه با استفاده از ویژگی حاصل ضرب صفر (zero product property) یکی از آن فاکتورها باید برابر با صفر باشد.
برای حل کردن یک معادلۀ درجه دوم با روش فاکتورگیری، ابتدا آن معادله را در شکل $ax^2+bx+c=0$ بنویسید و سپس سمت چپ را فاکتور بگیرید. سپس هر کدام از این فاکتورها را برابر با صفر قرار دهید، و آن را برای بدست آوردن مقدار مجهول حل کنید.
برای مثال:
$$
x^2+8x=-12\\
x^2+8x+12=0\\
(x+2)(x+6)=0\\
\text{ }\\[2ex]
x+2=0\\
x=-2\\
\text{ }\\[2ex]
x+6=0\\
x=-6
$$
پاسخ های یک معادلۀ درجه دوم، ریشه های (roots) آن معادله نامیده می شوند.
شما می توانید چندجمله ای ها (polynomials) را در شکل درجه دوم، فاکتورگیری کنید.
- سه جمله ای هایی (trinomials) را که در شکل $a(P)^2+b(P)+c$ می باشند و در آنها $a \ne 0$، و $P$ می تواند هر عبارتی باشد، با جایگذاری عبارت $P$ با یک تک متغیر، فاکتورگیری کنید. سپس عبارت $P$ را دوباره سرجای اولش برگردانید. در صورت امکان، فاکتورنهایی را ساده سازی کنید.
  به عنوان مثال، عبارت $2(x+3)^2-11(x+3)+15$ را با جایگذاری $r=x+3$، فاکتورگیری کنید:
  $$
  2(x+3)^2-11(x+3)+15\\
  =2\color{red}{r}^2-11\color{red}{r}+15\\
  =2r^2-5r-6r+15\\
  =(2r^2-5r)+(-6r+15)\\
  =r(2r-5)-3(2r-5)\\
  =(2r-5)(r-3)\\
  =\bigl( 2(\color{red}{x+3})-5 \bigr)\bigl( (\color{red}{x+3})-3 \bigr)\\
  =(2x+1)(x)\\
  =x(2x+1)
  $$
- تفاضل بین دو مربع، $P^2-Q^2$ که در آن $P$ و $Q$ می توانند هر عبارتی باشند را به شکل زیر فاکتورگیری کنید:
  $$
  P^2 - Q^2 = (P-Q)(P+Q)
  $$