یک بازیکن پستِ دفاع در بازی فوتبال، توپ را به سمت دروازۀ حریف شوت می زند و از دروازۀ خودشان دور می کند. مسیر این توپ شوت شده را می توان با تابع درجه دوم \(h(x)=-0.06x^2+3.168x-35.34\) تخمین زد. در این تابع \(x\) مسافت افقی طی شده در واحد متر از خط دروازه و \(h\) ارتفاع توپ در واحد متر می باشد.

1. شما می توانید فاصلۀ این توپ فوتبال از خط دروازه را با حل کردن معادلۀ متناظر این تابع، \(-0.06x^2+3.168x-35.34=0\)، تعیین کنید. هنگامی که این توپ فوتبال شوت می شود، در چه فاصله ای از خط دروازه قرار دارد؟ پاسختان را به نزدیکترین دهم متر بیان کنید.
   
2. این توپ فوتبال قبل از اینکه به زمین اصابت کند، چه مسافتی را می پیماید؟
   

پاسخ

1. معادلۀ \(-0.06x^2+3.168x-35.34=0\) را با روش کامل کردن مربع حل کنید.
   $$
   -0.06x^2+3.168x-35.34=0
   $$
   هر دو سمت معادله را بر فاکتور \(-0.06\) تقسیم کنید.
   $$
   x^2-52.8x+589=0
   $$
   جملات متغیردار را در سمت چپ معادله منزوی کنید.
   $$
   x^2-52.8x=-589
   $$
   مربع نصف ضریب جملۀ \(x\) را به هر دو سمت معادله بیفزایید.
   $$
   x^2-52.8x+\bigl( \frac{52.8}{2} \bigr)^2 = -589 + \bigl( \frac{52.8}{2} \bigr)^2 \\
   x^2-52.8x+696.96=-589+696.96\\
   (x-26.4)^2=107.96
   $$
   جذر هر دو سمت معادله را بگیرید.
   $$
   x-26.4 = \pm \sqrt{107.96}
   $$
   $$
   x-26.4=\sqrt{107.96}\\
   x=26.4+\sqrt{107.96}\\
   x=36.7903...\\
   \text{ }\\[2ex]
   x-26.4=-\sqrt{107.96}\\
   x=26.4-\sqrt{107.96}\\
   x=16.0096...
   $$
   ریشه های این معادله تقریباً برابر با \(36.8\) و \(16.0\) می باشند.
   این توپ از فاصلۀ تقریبی \(16.0\) متری خط دروازه شوت شده است.
   
   
2. از بخش a دریافتیم که این توپ از فاصلۀ تقریبی \(16.0 \text{ m}\) دروازه شوت شده است و در فاصلۀ تقریبی \(36.8 \text{ m}\) از خط دروازه فرود آمده است. بنابراین این توپ فوتبال، قبل از اینکه به زمین بخورد، مسافت \(36.8 - 16.0\) یا \(20.8 \text{ m}\) را پیموده است.
   

حالا نوبت شماست

اگر تابعی که مسیر پیموده شده توسط توپ فوتبال مثال بالا را مدلسازی می کند برابر با \(h(x)=-0.016x^2+1.152x-15.2\) باشد، این توپ فوتبال، قبل از اینکه به زمین بخورد، چه مسافتی را طی خواهد کرد؟