شما می توانید معادلات درجه دوم در شکل \(ax^2+bx+c=0, a \ne 0\) را با استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه دوم که در زیر می بینید، حل کنید.





$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
به عنوان مثال، در معادلۀ درجه دوم \(3x^2+5x-2=0\)، داریم: \(a=3\)، \(b=5\)، و \(c=-2\)

این مقادیر را در فرمول حل معادلۀ درجه دوم جایگذاری کنید.
$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-\color{red}{5} \pm \sqrt{\color{red}{5}^2-4(\color{red}{3})(\color{red}{-2})}}{2(\color{red}{3})}\\
x=\frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{6}\\
x=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6}\\
x=\frac{-5\pm 7}{6}
$$
ریشه ها را تعیین کنید.
$$
x=\frac{-5+7}{6}\\
x=\frac{1}{3}\\
\text{ }\\[2ex]
x=\frac{-5-7}{6}\\
x=\frac{-12}{6}\\
x=-2
$$
ریشه های این معادله \(\frac{1}{3}\) و \(-2\) می باشند.

درست آزمایی پاسخ های بدست آمده:

\(x=\frac{1}{3}\) و \(x=-2\) را در معادلۀ اصلی جایگذاری کنید.
$$
3x^2+5x-2=0\\
3\bigl( \color{red}{\frac{1}{3}} \bigr) ^2 + 5 \bigl( \color{red}{\frac{1}{3}} \bigr)-0=0\\
\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-\frac{6}{3}=0\\
\frac{0}{3}=0\\
0=0
$$
$$
3x^2+5x-2=0\\
3(\color{red}{-2})^2+5(\color{red}{-2})-2=0\\
12-10-2=0\\
0=0
$$
هر دو پاسخ بدست آمده صحیح می باشند. ریشه های این معادله \(\frac{1}{3}\) و \(-2\) می باشند.

شما می توانید با مقدار مبین (discriminant)، ماهیتِ ریشه های یک معادلۀ درجه دوم را تعیین کنید.

• هنگامی که مقدار یک مبین مثبت باشد، \(b^2-4ac \gt 0\)، دو ریشۀ حقیقی وجود خواهد داشت.
  
• هنگامی که مقدار مبین صفر باشد، \(b^2-4ac=0\)، یک ریشۀ حقیقی وجود خواهد داشت یا دو ریشۀ حقیقیِ برابر وجود خواهد داشت.
  
• هنگامی که مقدار مبین منفی باشد، \(b^2-4ac \lt 0\)، هیچ ریشۀ حقیقی وجود نخواهد داشت.
  

شما می توانید با آزمایش این سه مقدار مختلف مبین در فرمول معادلۀ درجه دوم، درستی این موضوع را بیازمایید.