از مبین برای تعیین ماهیت ریشه های معادلات درجه دوم زیر استفاده کنید. با ترسیم نمودار، پاسخ هایتان را درست آزمایی کنید.

1. $$
   -2x^2+3x+8=0
   $$
   
2. $$
   3x^2-5x=-9
   $$
   
3. $$
   \frac{1}{4}x^2-3x+9=0
   $$
   

پاسخ

برای تعیین ماهیت ریشه های هر معادله، مقادیر متناظر \(a\)، \(b\)، و \(c\) را در عبارت مبین، \(b^2-4ac\)، جایگذاری کنید.

1. در \(-2x^2+3x+8=0\) داریم: \(a=-2\)، \(b=3\)، و \(c=8\)
   $$
   b^2-4ac = \color{red}{3}^2 - 4(\color{red}{-2})(\color{red}{8})\\
   b^2-4ac=9+64\\
   b^2-4ac = 73
   $$
   از آنجا که مقدار مبین مثبت می باشد، این معادله دو ریشۀ حقیقی مجزا دارد.
   نمودار تابع متناظر این معادله، \(y=-2x^2+3x+8\)، تایید می کند که دو طول از مبدأ جدا در این تابع داریم.
   
   
   
2. ابتدا \(3x^2-5x=-9\) را در شکل \(ax^2+bx+c=0\) بازنویسی کنید.
   $$
   3x^2-5x+9=0
   $$
   در \(3x^2-5x+9=0\) داریم: \(a=3\)، \(b=-5\)، و \(c=9\)
   $$
   b^2-4ac = (\color{red}{-5})^2-4(\color{red}{3})(\color{red}{9})\\
   b^2-4ac = 25 - 108\\
   b^2-4ac = -83
   $$
   از آنجا که مقدار مبین منفی می باشد، این معادله هیچ ریشۀ حقیقی ندارد. جذر یک عدد منفی منجر به یک عدد حقیقی نمی شود.
   
   نمودار تابع متناظر این معادله، \(y=3x^2-5x+9\)، نشان می دهد که هیچ طول از مبدأیی نداریم.
   
   
   
3. در \(\frac{1}{4}x^2-3x+9=0\) داریم: \(a=\frac{1}{4}\)، \(b=-3\)، و \(c=9\)
   $$
   b^2-4ac =(\color{red}{-3})^2-4(\color{red}{\frac{1}{4}})(\color{red}{9})\\
   b^2-4ac =9-9\\
   b^2-4ac =0
   $$
   از آنجا که مقدار مبین صفر می باشد، یک ریشۀ حقیقی یا دو ریشۀ برابر حقیقی خواهیم داشت.
   
   نمودار تابع متناظر این معادله، \(y=\frac{1}{4}x^2-3x+9\)، تایید می کند که تنها یک طول از مبدأ داریم، زیرا نمودار این تابع محور \(x\) را لمس می کند اما از آن عبور نمی کند.
   
   

حالا نوبت شماست

از مبین برای تعیین ماهیت ریشه های معادلات درجه دوم زیر استفاده کنید. با ترسیم نمودار، پاسخ هایتان را درست آزمایی کنید.

1. $$
   x^2-5x+4=0
   $$
   
2. $$
   3x^2+4x+\frac{4}{3}=0
   $$
   
3. $$
   2x^2-8x=-9
   $$