لیا (Leah) می خواهد یک نقاشی رنگ روغن که بر روی یک بوم کشیده شده است و ابعاد آن \(50 \text{ cm}\) در \(60 \text{ cm}\) می باشد را قاب کند. قبل از قاب کردن، او نقاشی را بر روی یک تکه فوم مستطیل شکل قرار می دهد، به نحوی که یک باریکۀ یک دست از فوم در همۀ اضلاع نقاشی نمایان شود. مساحت این فوم دو برابر مساحت نقاشی می باشد. عرض باریکه ای که در اطراف نقاشی نمایان است، به نزدیکترین دهم سانتیمتر چقدر است؟

پاسخ

طرحی بکشید که صورت مسأله را نشان دهد.


اجازه دهید \(x\) نشان دهندۀ عرض باریکه ای از فوم که در اطراف نقاشی وجود دارد باشد. آن گاه طول این فوم برابر با \(2x+60\) و عرض آن برابر با \(2x+50\) خواهد بود.

از فرمول مساحت استفاده کنید.
اجازه دهید \(A\) نشان دهندۀ مساحت این فوم باشد.
$$
A=lw\\
2(60)(50)=(2x+60)(2x+50)\\
6000=4x^2+220x+3000\\
0=4x^2+220x-3000\\
0=4(x^2+55x-750)\\
0=x^2+55x-750
$$
مقادیر بدست آمده از شکل استاندارد معادلۀ درجه دوم را در فرمول حل معادلۀ درجه دوم جایگذاری کنید.
$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-(\color{red}{55}) \pm \sqrt{(\color{red}{55})^2-4(\color{red}{1})(\color{red}{-750})}}{2(\color{red}{1})}\\
x=\frac{-55 \pm \sqrt{6025}}{2}\\
\text{ }\\[2ex]
x=\frac{-55+\sqrt{6025}}{2}\\
x=11.310...\\
x \approx 11.3\\
\text{ }\\[2ex]
x=\frac{-55-\sqrt{6025}}{2}\\
x=-66.310...\\
x \approx -66.3
$$
از آنجا که \(x \gt 0\) پاسخ \(x \approx -66.3\) را رد می کنیم. بنابراین عرض این باریکه تقریباً برابر با \(11.3 \text{ cm}\) می باشد. ابعاد تقریبی این فوم برابر با \(82.6 \text{ cm}\) در \(72.6 \text{ cm}\) می باشند.
$$
2(\color{red}{11.3}) +60=82.6 \text{ cm}\\
2(\color{red}{11.3}) +50=72.6 \text{ cm}
$$
مساحت تقریبی این فوم برابر با \(82.6 \times 72.6 = 5996.76 \text{ cm}^2\) می باشد که تقریباً برابر با \(6000 \text{ cm}^2\) می شود، یعنی دو برابر مساحت نقاشی.

حالا نوبت شماست

ابعاد یک تصویر \(30 \text{ cm}\) در \(21 \text{ cm}\) می باشد. شما با بریدن باریکه هایی با عرض یکسان از بالا و یک سمت کناری دیگر این تصویر، آن را برش می دهید و کوچکتر می کنید. این کار منجر می شود مساحت اصلی \(40\%\) کاهش یابد. عرض باریکۀ بریده شده را تعیین کنید.