هنرمندی الگویی مشابه الگویی که در زیر می بینید ایجاد کرده است، اما مثلث های متساوی الاضلاع را به جای اینکه مانند تصویر زیر در دایره ها قرار دهد، درون مربع ها قرار داده است. مساحت هر کدام از این مربع ها \(32 \text{ cm}^2\) است.

1. محیط دقیق این مثلث چقدر است؟
   
2. ارتفاع دقیق این مثلث را تعیین کنید.
   
3. مساحت دقیق این مثلث چقدر است؟ تمامی پاسخ ها را در ساده ترین شکل ممکن بیان کنید.
   

پاسخ

طرحی از مسأله بکشید.

1. با توجه به اینکه مساحت این مربع \(32 \text{ cm}^2\) است طول هر ضلع آن برابر با \(\sqrt{32} \text{ cm}\) می باشد. بنابراین طول پایۀ این مثلث نیز \(\sqrt{32} \text{ cm}\) خواهد بود.
   طول ضلع را ساده کنید:
   $$
   \sqrt{32} = \sqrt{16(2)} = 4 \sqrt{2}
   $$
   محیط این مثلث را تعیین کنید:
   $$
   3(4 \sqrt{2}) = 12 \sqrt{2}
   $$
   محیط این مثلث برابر با \(12 \sqrt{2} \text{ cm}\) می باشد.
   
   
2. ارتفاع را در طرحتان اضافه کنید.
   
   روش 1: از قضیۀ فیثاغورث استفاده کنید
   از آنجا که ارتفاع، عمود منصفی بر ضلع پایۀ این مثلث متساوی الاضلاع می باشد، \(\triangle{ABC}\) یک مثلث قائم الزاویه می باشد. طول ساق های این مثلث قائم الزاویه \(2 \sqrt{2}\) و \(h\)، و طول وتر آن \(4\sqrt{2}\) می باشد.
   
   
   $$
   h^2 + (2 \sqrt{2})^2 = (4 \sqrt{2})^2\\
   h^2 + 4(2) = 16 (2) \\
   h^2 + 8 = 32 \\
   h^2 = 24 \\
   h = \pm 2 \sqrt{6}
   $$
   ارتفاع این مثلث برابر با \(2 \sqrt{6} \text{ cm}\) می باشد.
   
   روش 2: استفاده از مثلثات
   \(\triangle{ABC}\) یک مثلث \(30^{\circ}\text{-}60^{\circ}\text{-}90^{\circ}\) می باشد.
   
   
   $$
   \sin 60^{\circ} = \frac{h}{4 \sqrt{2}}\\
   \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4 \sqrt{2}}\\
   \frac{4 \sqrt{2} (\sqrt{3})}{2} = h\\
   2 \sqrt{6} = h
   $$
   ارتفاع این مثلث برابر با \(2 \sqrt{6} \text{ cm}\) می باشد.
   
   
3. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید.
   $$
   A=\frac{1}{2}bh\\
   A=\frac{1}{2} (\sqrt{32})(2\sqrt{6})\\
   A=\sqrt{(32)(6)}\\
   A = \sqrt{192}\\
   A=8 \sqrt{3}
   $$
   مساحت این مثلث برابر با \(8 \sqrt{3} \text{ cm}^2\) می باشد.
   

حالا نوبت شماست

طول ضلع پایۀ یک مثلث متساوی الساقین برابر با \(\sqrt{20} \text{ m}\) می باشد. طول هر کدام از اضلاع مساوی آن برابر با \(3 \sqrt{7} \text{ m}\) می باشد. مساحت دقیق این مثلث چقدر است؟