خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثال 2: معادلات رادیکال با یک ریشۀ اضافی
اگر معادلۀ \(n-\sqrt{5-n}=-7\) نشان دهندۀ اعداد حقیقی باشد، محدودیت های موجود بر روی \(n\) چه می باشند؟ این معادله را حل کنید.
$$
5-n \ge 0\\
5 \ge n
$$
مقدار \(n\) می تواند هر عدد حقیقی کوچکتر یا مساوی با پنج باشد.
$$
n - \sqrt{5-n} = -7\\
n +7 = \sqrt{5-n}\\
(n+7)^2 = (\sqrt{5-n})^2\\
n^2 + 14n + 49 = 5 -n\\
n^2 +15n + 44=0
$$
برای حل کردن این معادلۀ درجه دوم یک استراتژی انتخاب کنید.
روش 1: فاکتورگیری
$$
n^2+15n+44=0\\
(n+11)(n+4)=0\\
\text{ }\\[2ex]
n+11=0\\
n=-11\\
\text{ }\\[2ex]
n+4=0\\
n=-4
$$
روش 2: استفاده از فرمول معادلۀ درجه دوم $$
n=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
n = \frac{-\color{red}{15} \pm \sqrt{\color{red}{15}^2 - 4(\color{red}{1})(\color{red}{44})}}{2(\color{red}{1})}\\
n = \frac{-15 \pm \sqrt{225-176}}{2}\\
\text{ }\\[2ex]
n = \frac{-15 + 7}{2}\\
n = -4\\
\text{ }\\[2ex]
n = \frac{-15-7}{2}\\
n = -11
$$
اکنون با جایگذاری \(n=-4\) و \(n=-11\) در معادلۀ اصلی، پاسخ های بدست آمده را درست آزمایی می کنیم.
$$
n=-4\\
n-\sqrt{5-n} = -7\\
\color{red}{-4} - \sqrt{5-(\color{red}{-4})} = -7\\
-4-3=-7\\
-7=-7 \text{ ✔️}
$$
$$
n=-11\\
n-\sqrt{5-n} = -7\\
\color{red}{-11}-\sqrt{5-(\color{red}{-11})} = -7\\
-11-4=-7\\
-15=-7 \text{ ❌}
$$
پاسخ \(n=-4\) است. مقدار \(n=-11\) یک ریشۀ اضافی است. ریشه های اضافی به این دلیل رخ می دهند که مربع کردن هر دو سمت معادله و حل کردن معادلات درجه دوم ممکن است منجر به ریشه هایی شوند که معادلۀ اصلی را برآورده نمی سازند.
اگر معادلۀ \(m-\sqrt{2m+3}=6\) نشان دهندۀ اعدادی حقیقی باشد، محدودیت های موجود بر روی آن را شناسایی کنید. سپس این معادله را حل کنید.
پاسخ
$$
5-n \ge 0\\
5 \ge n
$$
مقدار \(n\) می تواند هر عدد حقیقی کوچکتر یا مساوی با پنج باشد.
$$
n - \sqrt{5-n} = -7\\
n +7 = \sqrt{5-n}\\
(n+7)^2 = (\sqrt{5-n})^2\\
n^2 + 14n + 49 = 5 -n\\
n^2 +15n + 44=0
$$
برای حل کردن این معادلۀ درجه دوم یک استراتژی انتخاب کنید.
روش 1: فاکتورگیری
$$
n^2+15n+44=0\\
(n+11)(n+4)=0\\
\text{ }\\[2ex]
n+11=0\\
n=-11\\
\text{ }\\[2ex]
n+4=0\\
n=-4
$$
روش 2: استفاده از فرمول معادلۀ درجه دوم $$
n=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
n = \frac{-\color{red}{15} \pm \sqrt{\color{red}{15}^2 - 4(\color{red}{1})(\color{red}{44})}}{2(\color{red}{1})}\\
n = \frac{-15 \pm \sqrt{225-176}}{2}\\
\text{ }\\[2ex]
n = \frac{-15 + 7}{2}\\
n = -4\\
\text{ }\\[2ex]
n = \frac{-15-7}{2}\\
n = -11
$$
اکنون با جایگذاری \(n=-4\) و \(n=-11\) در معادلۀ اصلی، پاسخ های بدست آمده را درست آزمایی می کنیم.
$$
n=-4\\
n-\sqrt{5-n} = -7\\
\color{red}{-4} - \sqrt{5-(\color{red}{-4})} = -7\\
-4-3=-7\\
-7=-7 \text{ ✔️}
$$
$$
n=-11\\
n-\sqrt{5-n} = -7\\
\color{red}{-11}-\sqrt{5-(\color{red}{-11})} = -7\\
-11-4=-7\\
-15=-7 \text{ ❌}
$$
پاسخ \(n=-4\) است. مقدار \(n=-11\) یک ریشۀ اضافی است. ریشه های اضافی به این دلیل رخ می دهند که مربع کردن هر دو سمت معادله و حل کردن معادلات درجه دوم ممکن است منجر به ریشه هایی شوند که معادلۀ اصلی را برآورده نمی سازند.
حالا نوبت شماست
اگر معادلۀ \(m-\sqrt{2m+3}=6\) نشان دهندۀ اعدادی حقیقی باشد، محدودیت های موجود بر روی آن را شناسایی کنید. سپس این معادله را حل کنید.
یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: