مثال 3: عبارات گویا با جفتی از مقادیر غیرمجاز

نویسنده : امیر انصاری

عبارت زیر را در نظر بگیرید.

$$
\frac{16x^2 - 9y^2}{8x - 6y}
$$

چه عبارتی نشان دهندۀ مقادیر غیرمجاز برای $x$ است؟
این عبارت گویا را ساده کنید.
این عبارت را برای $x=2.6$ و $y=1.2$ ارزیابی کنید. دو روش برای تعیین پاسخ نشان دهید.

پاسخ

$$
\frac{16x^2 - 9y^2}{8x - 6y}
$$
عبارتی برای $x$ تعیین کنید که در آن $8x-6y=0$
$$
x=\frac{6y}{8} \text{ or } \frac{3y}{4}
$$
$x$ نمی تواند مقدار $\frac{3y}{4}$ داشته باشد، در صورتی که این مقدار را داشته باشد مخرج کسر برابر با صفر خواهد شد و این عبارت تعریف نشده خواهد بود. عبارتی که نشان دهندۀ مقادیر غیرمجاز برای $x$ باشد $x=\frac{3y}{4}$ است. مثال هایی از مقادیر غیرمجاز شامل $(\frac{3}{4},1)$، $(\frac{3}{2},2)$، $(\frac{9}{4},3)$ و به همین ترتیب می باشند.
$$
\frac{16x^2 - 9y^2}{8x - 6y} = \frac{(4x - 3y)(4x+3y)}{2(4x-3y)}\\
= \frac{(4x - 3y)(4x + 3y)}{2(4x-3y)}\\
= \frac{4x + 3y}{2}, x \ne \frac{3y}{4}
$$
ابتدا بررسی کنید که مقادیر $x=2.6$ و $y=1.2$ مجاز باشند.
$$
x=\frac{3y}{4}\\
2.6 = \frac{3(\color{red}{1.2})}{4}\\
2.6 = 0.9 \text{ ❌}
$$
به ازاء $x=2.6$ و $y=1.2$، داریم $x \ne \frac{3y}{4}$، بنابراین این مقادیر مجاز می باشند.

روش 1: جایگذاری مقادیر در عبارت گویای اصلی
$$
\frac{16x^2 - 9y^2}{8x - 6y} = \frac{16 (\color{red}{2.6})^2 - 9 (\color{red}{1.2})^2 }{8 (\color{red}{2.6}) - 6 (\color{red}{1.2})}\\
= \frac{95.2}{13.6}\\
= 7
$$
روش 2: جایگذاری در عبارت گویای ساده شده
$$
\frac{4x+3y}{2} = \frac{4 (\color{red}{2.6}) + 3 (\color{red}{\color{red}{1.2}})}{2}\\
= \frac{14}{2} \\
= 7
$$
هنگامی که $x=2.6$ و $y=1.2$ باشد مقدار عبارت برابر با $7$ می باشد.