در این بخش، شما عبارات گویا را با یکدیگر جمع و تفریق کردید تا به یک عبارت واحد برسید. برای مثال:





$$
\frac{3}{x-4} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+5}{(x-4)(x-1)}
$$
اگر به شما یک عبارت گویا بدهند و از شما بخواهند که دو عبارت پیدا کنید که با یکدیگر جمع زده شوند تا به این عبارت برسند، چه می شود؟ به عبارت دیگر، شما این وضعیت را معکوس کنید.
$$
\frac{x+5}{(x-4)(x-1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-1}
$$

• مرحلۀ 1 برای تعیین \(A\)، مخرج سمت چپ در عبارت اصلی را بپوشانید تا \(\frac{x+5}{x-1}\) برای شما باقی بماند. مقدار \(\frac{x+5}{x-1}\) را برای \(x=4\)، مقدار غیرمجاز برای فاکتور \(x-4\)، تعیین کنید.
  $$
  \frac{x+5}{x-1} = \frac{\color{red}{4}+5}{\color{red}{4}-1}=3
  $$
  این یعنی \(A=3\)
  
  
• مرحلۀ 2 سپس، \((x-1)\) در مخرج عبارت اصلی را بپوشانید و \(x=1\) را در \(\frac{x+5}{x-4}\) جایگزین کنید تا به \(-2\) برسید. این یعنی \(B=-2\)
  
  
• مرحلۀ 3 با جایگذاری مقادیر بدست آمده برای \(A\) و \(B\) در رابطۀ بالا، درستی آنها را بیازمایید.
  $$
  \frac{3}{x-4} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+5}{(x-4)(x-1)}
  $$
  
• مرحلۀ 4 در عبارات زیر مقادیر \(A\) و \(B\) را بیابید.
  
  1. $$
     \frac{3x-1}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}
     $$
     
  2. $$
     \frac{6x+15}{(x+7)(x-2)} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-2}
     $$
     
• مرحلۀ 5 آیا اعتقاد دارید که روشی که در مراحل \(1\) تا \(3\) به شما نشان داده شد، همواره درست جواب می دهد یا اینکه معتقدید بعضی اوقات درست جواب می دهد؟ از دلیل آوری جبری برای نشان دادن اینکه اگر
  $$
  \frac{x+5}{(x-4)(x-1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x-1}
  $$
  آن گاه \(A=3\) و \(B = -2\)، استفاده کنید.
  

پاسخ

• مرحلۀ 4
  1. $$
     A=2, B=1
     $$
     
  2. $$
     A=3, B=3
     $$
     
• مرحلۀ 5 این روش همیشه درست جواب می دهد.
  $$
  \frac{3}{x-4} + \frac{-2}{x-1} = \frac{3(x-1)+ -2(x-4)}{(x-4)(x-1)}\\
  = \frac{x+5}{(x-4)(x-1)}
  $$