مثال 2: ترسیم نمودار یک تابع قدر مطلق

در این مثال می خواهیم نمودار یک تابع قدر مطلق در شکل $f(x)=|ax^2 + bx + c|$ را بکشیم. تابع قدر مطلق $f(x)=|-x^2 + 2x + 8|$ را در نظر بگیرید.

عرض از مبدأ و طول از مبدأ این تابع را تعیین کنید.
نمودار آن را بکشید.
دامنه و برد آن را بیان کنید.
آن را به شکل یک تابع قطعه به قطعه بیان کنید.

پاسخ

با ارزیابی این تابع در $x=0$ عرض از مبدأ را تعیین کنید.
$$
f(x)=|-x^2 + 2x + 8|\\
f(0) = |-(0)^2 + 2(0) + 8|\\
f(0) = |8|\\
f(0) = 8
$$
عرض از مبدأ در $(0,8)$ رخ می دهد.

طول از مبدأها، صفرهای حقیقی این تابع هستند، از این رو با طول از مبدأهای این نمودار متناظرند.
$$
f(x) = |-x^2 + 2x + 8|\\
0 = -x^2 + 2x + 8\\
0 = -(x^2 -2x -8)\\
0 = -(x+2)(x-4)\\
x+2 = 0\\
x= -2\\
x-4= 0\\
x=4
$$
طول از مبدأهای این تابع در $(-2,0)$ و $(4,0)$ رخ می دهند.
از نمودار $y=f(x)$ برای ترسیم نمودار $y=|f(x)|$ استفاده کنید.
با روش کامل کردن مربع، تابع $y=-x^2 + 2x + 8$ را به شکل رأس، $y=a(x-p)^2+q$، تبدیل کنید.
$$
y = -x^2 + 2x + 8\\
y = -(x^2 -2x) + 8\\
y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8\\
y = -[(x^2 - 2x + 1)-1] +8\\
y = -[(x-1)^2 - 1] + 8\\
y = -(x-1)62 -1(-1)+8\\
y=-(x-1)^2 + 9
$$
از آنجا که $p=1$ و $q=9$، رأس در $(1,9)$ قرار گرفته است. از آنجا که $a \lt 0$، این سهمی رو به سمت پایین باز می شود. نمودار آن را ترسیم کنید.
بخشی از نمودار $y=-x^2 + 2x + 8$ را که زیر محور $x$ قرار گرفته است را در امتداد محور $x$ بازتاب دهید.
دامنۀ این تابع عبارت از تمامی اعداد حقیقی می باشد، $\{x| x \in R \}$، و برد آن عبارت از تمامی مقادیر غیرصفر می باشد، $\{ y| y \ge 0, y \in R \}$.
نمودار $y=|-x^2 + 2x + 8|$ عبارت از دو تابع درجه دوم جداگانه است. شما می توانید از طول از مبدأها برای تعیین دامنۀ خاص هر تابع استفاده می کنید.
- هنگامی که $-2 \le x \le 4$، نمودار $y=|-x^2 + 2x +8|$ برابر با نمودار $y = -x^2 + 2x + 8$ است، که یک سهمی است که رو به پایین باز شده است و رأس آن در $(1,9)$ قرار دارد و عرض از مبدأ آن $8$، و طول از مبدأهایش $-2$ و $4$ هستند.
- هنگامی که $x \lt -2$ یا $x \gt 4$ است، نمودار $y = |-x^2 + 2x + 8|$ برابر با نمودار $y=-x^2 + 2x + 8$ است که بر روی محور $x$ بازتاب یافته است. معادلۀ این نمودار بازتاب یافته برابر با $y=-(-x^2 + 2x + 8)$ یا $y=x^2 -2x -8$ است، که یک سهمی است که رو به سمت بالا باز شده است و رأس آن در $(1,-9)$، عرض از مبدأ آن در $-8$، و طول از مبدأهایش در $-2$ و $4$ می باشند.
  تابع قدر مطلق $y=|-x^2 + 2x + 8|$ را به شکل تابع قطعه به قطعه زیر بیان می کنیم.
  $$
  y=
  \begin{cases}
  -x^2 + 2x + 8, \text{ if } -2 \le x \le 4\\
  -(-x^2+2x+8), \text{ if } x \lt -2 \text{ or } x \gt 4
  \end{cases}
  $$