مثال 5: حل کردن معادلۀ قدر مطلقی که شامل عبارت درجه دوم باشد

معادلۀ $|x^2 - 2x|=1$ را حل کنید.

پاسخ

با استفاده از تعریف قدر مطلق داریم:
$$
|x^2-2x|=
\begin{cases}
x^2 - 2x, \text{ if } x \le 0 \text{ or } x \ge 2\\
-(x^2 - 2x), \text{ if } 0 \lt x \lt 2
\end{cases}
$$

حالت 1

$$
x^2 - 2x = 1\\
x^2 - 2x - 1 = 0\\
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)} }{2(1)}\\
x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}\\
x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}\\
x = 1 \pm \sqrt{2}
$$

تعیین کنید که آیا $x=1+ \sqrt{2}$ یا $x= 1 - \sqrt{2}$ معادلۀ اصلی، $|x^2 - 2x| = 1$، را برآورده می سازد یا خیر.

برای $x=1+\sqrt{2}$:
سمت چپ معادله
$$
|x^2 - 2x|\\
= |(1+\sqrt{2})^2 - 2 (1+\sqrt{2})|\\
=|1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}|\\
=|1|\\
= 1
$$
سمت چپ و سمت راست این معادله با یکدیگر برابرند.
$$
1=1 \text{ ✔️}
$$
برای $x=1-\sqrt{2}$:
سمت چپ معادله
$$
|x^2 - 2x|\\
=|(1-\sqrt{2})^2 + 2(1-\sqrt{2})|\\
=|1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}|\\
=|1|\\
= 1
$$
سمت چپ و سمت راست این معادله با یکدیگر برابرند.
$$
1=1 \text{ ✔️}
$$

حالت 2

$$
-(x^2 - 2x) = 1\\
x^2 - 2x = -1\\
x^2 - 2x + 1 = 0\\
(x-1)^2 = 0\\
x-1 = 0\\
x = 1
$$
بررسی کنید که آیا $x=1$ معادلۀ اصلی را برآورده می سازد یا خیر.
سمت چپ معادله
$$
|x^2 - 2x|\\
=|1^2 - 2(1)|\\
=|-1|\\
= 1
$$
پاسخ های این معادله $x=1$، $x=1+\sqrt{2}$ و $x=1-\sqrt{2}$ می باشند.

شما همچنین می توانید پاسخ های بدست آمدۀ $x=1$، $x \approx 2.4$ و $x \approx -0.41$ را به صورت گرافیکی نیز مورد بررسی قرار دهید.