مثال 1: مقایسۀ نمودار یک تابع با نمودار تابع معکوس آن

نمودار تابع $y=f(x)$ و تابع معکوس آن $y=\frac{1}{f(x)}$ را بکشید، در حالی که $f(x)=x$. ارتباط این دو تابع با یکدیگر را بررسی کنید.

تابع معکوس (reciprocal function):

تابع $y=\frac{1}{f(x)}$ که اینگونه تعریف می شود:
$$
y=\frac{1}{f(a)} = \frac{1}{b}, \text{ if } f(a) = b, f(a) \ne 0, b \ne 0
$$

پاسخ

برای ترسیم نمودار توابع $y=x$ و $y=\frac{1}{x}$، از جدولی از مقادیر استفاده کنید.

تابع $y=x$ یک تابع درجه یک می باشد، بنابراین نمودار آن یک خط است.

تابع $y=\frac{1}{x}$ یک تابع گویا می باشد.

نمودار آن دو قطعۀ مجزا دارد، یا دو شاخه می شود. این دو شاخه در دو سمت خط مجانب عمودی و خط مجانب افقی قرار گرفته اند، خط مجانب عمودی با مقادیر غیرمجاز دامنۀ این تابع تعریف می شود، و خط مجانب افقی بر اساس این حقیقیت تعریف می شود که مقدار $0$ در برد این تابع قرار ندارد.

خط مجانب (asymptote):

خطی که فاصله اش تا یک منحنی مشخص به صفر میل می کند

خط مجانب عمودی (vertical asymptote):

در توابع معکوس در مقادیر غیرمجاز آن تابع واقع می شود
خط $x=a$ یک خط مجانب عمودی است اگر منحنی ای که به این خط نزدیک می شود همینطور که $x$ به $a$ میل می کند به آن نزدیک و نزدیک تر شود، و مقادیر تابع مربوطه، همینطور که $x$ به $a$ میل می کند، بدون هیچ مرزی افزایش یا کاهش یابند

خط مجانب افقی (horizontal asymptote):

هنگامی که $|x|$ خیلی بزرگ است، رفتار این نمودار را توصیف می کند
خط $y=b$ یک خط مجانب افقی است اگر هنگامی که $|x|$ خیلی بزرگ است مقادیر این تابع به $b$ نزدیک شوند