نویسنده : امیر انصاری

1. تابع معکوس آن، \(y=\frac{1}{f(x)}\)، را تعیین کنید.
   
2. معادلۀ خط مجانب عمودیِ تابع معکوس آن را تعیین کنید.
   
3. نمودار تابع \(y=f(x)\) و معکوس آن \(y=\frac{1}{f(x)}\) را ترسیم کنید. یک استراتژی که می توانید از آن برای ترسیم نمودار تابع معکوس استفاده کنید را توصیف کنید.
   

پاسخ

1. تابع معکوس برابر با \(y=\frac{1}{2x+5}\) می باشد.
   
2. خط مجانب عمودی در مقادیر غیرمجاز تابع گویای متناظر آن، \(\frac{1}{2x+5}\)، می باشد.
   برای تعیین مقادیر غیرمجاز، مخرج را برابر با \(0\) قرار داده و آن را حل کنید.
   $$
   2x+5=0\\
   2x=-5\\
   x=-\frac{5}{2}
   $$
   مقدار غیرمجاز \(x=-\frac{5}{2}\) است.
   در دامنۀ این تابع گویا \(\frac{1}{2x+5} , x \ne -\frac{5}{2}\).
   این تابع معکوس در این مقدار تعریف نشده است، و نمودار آن دارای یک خط مجانب عمودی با معادلۀ \(x=-\frac{5}{2}\) می باشد.
   

3. روش 1: استفاده از مداد و کاغذ

   
   برای ترسیم نمودار تابع \(f(x)=2x+5\) از عرض از مبدأ \(5\) و شیب \(2\) استفاده کنید.
   
   برای ترسیم نمودار تابع معکوسِ یک تابع، ویژگی های زیر را در نظر بگیرید:
   
   

   ویژگی	تابع \(f(x)=2x+5\)	تابع معکوس \(f(x)=\frac{1}{2x+5}\)
   طول از مبدأ و خطوط مجانب	مقدار این تابع در \(x=-\frac{5}{2}\) برابر با صفر است	مقدار تابع معکوس در \(x=-\frac{5}{2}\) تعریف نشده است. یک خط مجانب عمودی در اینجا وجود دارد.
   نقاط پایا (تغییر ناپذیر)	\(2x+5=1\) را حل کنید. مقدار این تابع در \((-2,1)\) برابر با \(+1\) می باشد.	\(\frac{1}{2x+5}=1\) را حل کنید. مقدار تابع معکوس در \((-2,1)\) برابر با \(+1\) می باشد.
   	\(2x+5=-1\) را حل کنید. مقدار این تابع در \((-3,-1)\) برابر با \(-1\) می باشد.	\(\frac{1}{2x+5}=-1\) را حل کنید. مقدار تابع معکوس در \((-3,-1)\) برابر با \(-1\) می باشد.

   نمودارهای \(y=2x+5\) و \(y=\frac{1}{2x+5}\) در زیر نشان داده شده اند.
   
   

   روش 2: ترسیم نمودار با استفاده از ماشین حساب نموداری

   
   با استفاده از یک ماشین حساب نموداری، نمودار این توابع را ترسیم کنید.
   
   توابع را به شکل \(y=2x+5\) و \(y=\frac{1}{2x +5}\) در ماشین حساب وارد کنید.
   
   مطمئن شوید که هر دو شاخۀ نمودار تابع معکوس نمایان باشند.
   
   
   از مقدار ماشین حساب و ویژگی صفر برای بررسی نقاط پایا (invariant points) و عرض از مبدأ استفاده کنید.
   
   
   • از ویژگی جدول در ماشین حساب استفاده کنید تا ماهیت نقاط زوج مرتب (ordered pairs) را، هنگامی که نمودار یک تابع و معکوس آن ترسیم شده اند، ببینید.
     
   • از ویژگی جدول در ماشین حساب استفاده کنید تا این دو تابع را به لحاظ مقادیری که مثبت یا منفی باقی می مانند، یا مقادیری از \(y\) که افزایش یا کاهش می یابند، مقایسه کنید.
     
   • از ویژگی جدول در ماشین حساب استفاده کنید تا ببینید وقتی که قدر مطلق \(x\) خیلی بزرگ یا خیلی کوچک می شود برای تابع معکوس چه اتفاقی می افتد.
     
   

حالا نوبت شماست

1. تابع معکوس آن، \(y=\frac{1}{f(x)}\)، را تعیین کنید.
   
2. معادلۀ خط مجانب عمودی در تابع معکوس آن را تعیین کنید.
   
3. نمودار تابع \(y=f(x)\) و نمودار تابع معکوس آن، \(y=\frac{1}{f(x)}\)، را به کمک فناوری یا بدون کمک فناوری، ترسیم کنید. همینطور که تابع \(y=\frac{1}{f(x)}\) به خطوط مجانبش نزدیک می شود، روی ویژگی های آن بحث و گفتگو کنید.