مثال 3: ترسیم نمودار معکوس یک تابع درجه دوم

نویسنده : امیر انصاری

تابع $f(x)=x^2 - 4$ را در نظر بگیرید.

تابع معکوس $f(x)$ چیست؟
مقادیر غیر مجاز $x$ و معادله (یا معادله های) خطوط مجانب عمودی این تابع معکوس را بیان کنید.
طول از مبدأها و عرض از مبدأ این تابع معکوس کدامند؟
نمودار تابع $y=f(x)$ و تابع معکوس آن، $y=\frac{1}{f(x)}$، را ترسیم کنید.

پاسخ

تابع معکوس برابر با $y=\frac{1}{x^2 - 4}$ می باشد.
مقادیر غیرمجاز $x$ زمانی رخ می دهند که مخرج عبارت گویای متناظر تابع برابر با $0$ باشد.
$$
x^2 - 4 = 0\\
(x-2)(x+2)=0\\
x-2 = 0\\
x=2\\
x+2=0\\
x=-2
$$
مقادیر غیرمجاز عبارت گویای متناظر این تابع $x=2$ و $x=-2$ می باشند.
در این مقادیر تابع معکوس تعریف نشده است، بنابراین معادلۀ خطوط مجانب عمودی این نمودار $x=2$ و $x=-2$ می باشند.
برای یافتن طول از مبدأهای تابع $y = \frac{1}{x^2 - 4}$، مقدار $y$ را برابر با صفر قرار دهید، $y=0$.
$$
0 = \frac{1}{x^2 - 4}
$$
هیچ مقداری از $x$ وجود ندارد که این معادله را برقرار سازد. بنابراین هیچ طول از مبدأیی نداریم.
برای یافتن عرض از مبدأ، $0$ را در $x$ جایگذاری کنید.
$$
y=\frac{1}{0^2-4}\\
y = -\frac{1}{4}
$$
عرض از مبدأ برابر با $-\frac{1}{4}$ می باشد.
روش 1: از کاغذ و قلم استفاده کنید

در تابع $f(x)=x^2 - 4$، مختصات رأس در $(0,-4)$ و طول از مبدأها در $(-2,0)$ و $(2,0)$ می باشند.
از این اطلاعات برای ترسیم نمودار $f(x)$ استفاده کنید.
برای ترسیم نمودار تابع معکوس:
- خطوط مجانب را ترسیم کنید.
- نقاط پایا (invariant points) را با $f(x)=\pm 1$ روی نمودار مشخص سازید. محل دقیق نقاط پایا را می توانید با حل کردن معادلۀ $x^2 - 4 = \pm 1$ بدست آورید.
  نتیجۀ حل کردن $x^2-4=1$ نقاط $(\sqrt{5},1)$ و $(-\sqrt{5},1)$ می باشد.
  نتیجۀ حل کردن $x^2 - 4 = -1$ نقاط $(\sqrt{3}, -1)$ و $(-\sqrt{3},1)$ می باشد.
- مختصات $y$ این نقاط بر روی نمودار تابع معکوس، برابر با معکوس مختصات $y$ نقاط متناظرشان بر روی نمودار $f(x)$ می باشد.
روش 2: استفاده از یک ماشین حساب نموداری

توایع $y=x^2 -4$ و $y=\frac{1}{x^2 - 4}$ را در ماشین حساب نموداری وارد کنید.

تنظیمات پنجرۀ نمایشی ماشین حساب را طوری تنظیم کنید که رأس و تقاطع های $y=x^2 -4$ نمایان باشند.