مهندسان از منحنی های عمودی برای راحتی و امنیت جاده ها استفاده می کنند. منحنی های عمودی شکلی سهموی دارند و برای انتقال از یک شیب تند به شیب تند دیگری مورد استفاده قرار می گیرند. هر کدام از خطوط این شیب ها بر این منحنی مماس خواهند بود






در بزرگراه ترانس کانادا (Trans-Canada Highway) که از میان کوههای راکی می گذرد، چندین منحنی عمودی وجود دارد. نقشه برداران برای ساخت یک منحنی عمودی، یک دستگاه مختصات ترتیب می دهند و موقعیت های ابتدای این منحنی و انتهای این منحنی را بر روی آن نشانه گذاری می کنند.

فرض کنید نقشه برداران اولین خط راست شیب این جاده را با معادلۀ خطی \(y=-0.06x + 2.6\)، دومین خط راست شیب را با معادلۀ خطی \(y=0.09x + 2.35\)، و منحنی عمودی را با معادلۀ درجه دوم \(y=0.0045x^2 + 2.8\) مدلسازی کرده باشند.

1. دو دستگاه معادلات بنویسید که می توانند برای تعیین مختصات های نقاط تماس مورد استفاده قرار گیرند.
   
2. به کمک فناوری ترسیم نمودار، طرح نقشه برداران برای این منحنی عمودی را نشان دهید.
   
3. مختصات های نقاط تماس را به صورت نموداری تا نزدیکترین صدم تعیین کنید.
   
4. هر کدام از نقاط تماس را تفسیر کنید.
   

پاسخ

1. نقاط تماس جاهایی هستند که این خطها سهمی را لمس می کنند. این دو دستگاه معادلات عبارتند از:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{c}
   y=-0.06x + 2.6\\
   y=0.0045x^2 + 2.8
   \end{array}
   \right.
   $$
   $$
   \left\{
   \begin{array}{c}
   y=0.09x + 2.35\\
   y=0.0045x^2 + 2.8
   \end{array}
   \right.
   $$
   
2. نمودار هر سه معادله را ترسیم کنید. ممکن است نیاز پیدا کنید صفحۀ ماشین حساب نموداریتان را تنظیم کنید تا نقاط تماس را ببینید.
   
3. از ویژگی تقاطع در ماشین حساب نموداریتان استفاده کنید تا نقاط تماس را ببینید.
   پاسخ های بدست آمده را به کمک ماشین حساب درست آزمایی کنید.
   نقاط تماس به نزدیکترین صدم عبارتند از: \((-6.67,3.00)\) و \((10.00,3.25)\)
   
4. این بدین معناست که منحنی عمودی در موقعیت \((-6.67,3.00)\) آغاز می شود و در موقعیت \((10.00,3.25)\) پایان می یابد.
   

حالا نوبت شماست

بخش دیگری از این جاده نیازمند منحنی نمایش داده شده در طرح زیر می باشد. خط های راست شیب دار با معادلات \(y=0.08x + 6.2\) و \(y = -0.075x + 6.103\) مدلسازی شده اند. این منحنی با معادلۀ \(y=-0.002x^2 + 5.4\) مدلسازی شده است.

1. دو دستگاه معادلاتی که برای تعیین مختصات آغاز و پایان این منحنی های عمودی بر روی صفحۀ مختصات نقشه برداران مورد استفاده قرار می گیرد را بنویسید.
   
2. به کمک فناوری ترسیم نمودار، طرح این نقشه برداران برای این منحنی های عمودی را نشان دهید.
   
3. مختصات های پایانی هر کدام از این منحنی های عمودی را به نزدیکترین صدم تعیین کنید.