اگر \(10\) نقطه را که هیچ سه تای آنها روی یک خط نیستند، دو به دو به هم وصل کنیم؛ چند پاره خط به وجود می آید؟


تعداد پاره خط ها در واقع مجموع تعداد ضلع ها و تعداد قطرهاست.


یک الگو پیدا کنید و برای \(10\) نقطه نتیجه گیری کنید.

پاسخ

طبق تصاویری که در صورت مسئله آمده است، پیش می رویم تا ببینیم آیا می توانیم الگویی پیدا کنیم. از ساده ترین شکل یعنی مثلث آغاز می کنیم. مثلث از سه نقطه تشکیل شده است.


از یکی از این نقاط به دلخواه آغاز می کنیم و هر تعداد خط که بتوانیم (در شکل ضلع یا قطر) می کشیم. ما از نقطۀ \(A\) آغاز می کنیم. همانطور که می بینید فقط \(2\) خط می توانیم بکشیم. تعداد ضلع ها را زیر شکل می نویسیم.

$$
2
$$
حالا سراغ نقطۀ بعدی (\(B\)) می رویم. فقط یک خط می توانیم بکشیم.
$$
2 + 1 = 3
$$
سراغ نقطۀ بعد \((C)\) می رویم. از این نقطه هیچ خطی نمی توانیم بکشیم که قبلاً نکشیده باشیم.

اکنون سراغ یک چهار ضلعی می رویم. یعنی چهار نقطه.
$$
3
$$
$$
3+2
$$
$$
3+2+1=6
$$
احتمالاً متوجه الگو شده اید. برای اینکه بهتر الگو را درک کنید، الگوی پنج نقطه را هم می نویسیم:
$$
4
$$
$$
4+3
$$
$$
4+3+2
$$
$$
4+3+2+1=10
$$
اگر همین الگو را ادامه دهیم برای ده نقطه خواهیم داشت:
$$
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
$$
در ده نقطه \(45\) پاره خط خواهیم داشت.