امروز می خواهم به سوال یکی از کاربران سایت خوش آموز پاسخ دهم و آن اینکه چرا در تقسیم کسرها، کسر دوم را به شکل معکوس تبدیل می کنیم و عملیات تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. برای درک توضیحات ارائه شده در این مقالۀ آموزشی، ضرورت دارد که درکی از معادله و جبر داشته باشید. با توجه به اینکه با معادله و جبر در ریاضی هفتم آشنا می شوید، اگر پایۀ تحصیلی شما پایین تر از هفتم باشد، در درک این مقاله به مشکل خواهید خورد.

چرا عملیات تقسیم کسرها به ضرب تقسیم می شود؟

اول بیایید ببینیم چرا در هنگام تقسیم کسرها، عملیات تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم. همانطور که می دانید، در ریاضی یک سری عملیات های معکوس داریم که به ما امکان انجام یک محاسبه به روش های مختلفی را می دهند. به عنوان مثال، معکوس عملیات جمع، عملیات تفریق می باشد. معکوس عملیات، عملیات اصلی را خنثی می کند و به نوعی ما را از پاسخ به سوال می رساند. برای درک این موضوع بیایید مثالی بزنیم.
$$
1+2=3 \\
3 -2=1
$$
معکوس عملیات تقسیم نیز، عملیات ضرب می باشد. به مثال زیر توجه کنید:
$$
10 \div 2 = 5 \\
5 \times 2 = 10
$$
اگر با جبر آشنا باشید، در جبر به جای اعداد از حروف الفبای انگلیسی استفاده می کنیم تا عباراتی کلی تر بنویسیم که نشان دهندۀ قوانین ریاضی می باشند.
$$
a \div b = c \\
c \times b = a
$$
تا اینجای کار دانستیم که بین ضرب و تقسیم یک رابطۀ معکوس وجود دارد و زیاد هم به یکدیگر نامرتبط نیستند. در واقع تمامی تقسیم ها را می توانیم با ضرب نیز نشان دهیم. با این پیش زمینه، به سراغ سوال دوم می رویم.

چرا در تقسیم کسرها، کسر دوم را به شکل معکوس تبدیل می کنیم؟

برای درک این موضوع از یک مثال استفاده می کنیم. برای اینکه راحت تر مثال را درک کنید، در بخشی از مثال از اعداد صحیح و در بخش دیگرش از با اعداد کسری استفاده کرده ایم.
$$
30 \div \frac{3}{4} = x
$$
در اینجا یک عملیات تقسیم داریم. البته علاوه بر عملیات تقسیم، یک معادله نیز داریم. هر معادله (برابری) در ریاضی یک سری قوانین دارد. به عنوان مثال، اگر به دو طرف یک معادله، مقداری را اضافه کنیم، معادله برقرار می ماند. اگر از هر دو طرف یک معادله مقداری را کم کنیم، باز هم معادله برقرار می ماند. اگر هر دو طرف معادله را در عددی ضرب کنیم، معادله برقرار می ماند. اگر هر دو طرف معادله را بر عددی تقسیم کنیم، باز هم معادله برقرار می ماند. منظور از معادله برقرار می ماند اینست که هنوز هم هر دو طرف معادله با یکدیگر برابر هستند.

در بخش اول این مقاله، دانستیم که هر عملیات تقسیمی را می توانیم با عملیات معکوس آن یعنی ضرب، بازنویسی کنیم. با این حساب عملیات تقسیم را به ضرب تبدیل می کنیم:
$$
30 \div \frac{3}{4} = x\\
x \times \frac{3}{4} = 30
$$
اگر با قوانین معادله آشنا باشید، تا همین جای کار به پاسخ سوال رسیده اید. با این حال این معادله را حل می کنیم تا بهتر موضوع را درک کنید. برای حل هر معادله ای، با استفاده از قوانین معادله، کاری می کنیم که مقدار متغیر معادله (در اینجا \(x\)) در یک سمت معادله منزوی شود (منزوی شود، یعنی تنها بماند). اگر هر دو سمت این معادله را در کسر \(\frac{4}{3}\) که معکوس \(\frac{3}{4}\) می باشد، ضرب کنیم، مقدار \(x\) در سمت چپ معادله تنها خواهد ماند.
$$
x \times \frac{3}{4} = 30\\
x \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{3}= 30 \times \frac{4}{3}
$$
می دانیم که حاصل ضرب \(\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}\) برابر با \(1\) می باشد. پس خواهیم داشت:
$$
x = 30 \times \frac{4}{3}\\
x = 40
$$
در واقع وقتی به شما می گویند برای تقسیم کسرها، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب کنید، خلاصه ای از این عملیات را به شما می گویند. در اصل باید به شما می گفتند که ابتدا عملیات تقسیم را با عملیات معکوس آن، به شکل ضرب بازنویسی کنید، سپس معادلۀ حاصله را به کمک قوانین معادله حل کنید. شما با معکوس کردن کسر دوم، و تبدیل عملیات تقسیم به عملیات ضرب، به نوعی با روشی میانبر و بدون دانستن این قوانین، به نتیجۀ درستی می رسید.

نکته: در اینجا ما برای سادگی کار، از مثال \(30 \div \frac{3}{4}\) استفاده کردیم، اما اگر به جای \(30\) یک عدد کسری هم می گذاشتیم، هیچ تفاوتی در ماجرا ایجاد نمی کرد. در اصل خود \(30\) نیز با \(\frac{30}{1}\) برابر است و خودش نیز یک کسر می باشد. یعنی مثال ما اینگونه نیز هست: \(\frac{30}{1} \div \frac{3}{4}\)