اموزش آمار و احتمالات مهندسی از جمله دروس عمومی در رشته‌های مختلف به حساب می‌آید. قطعا حوزه‌های مختلف تکنولوژی موفقیت خود را مدیون درس آمار و احتمالات هستند. در این درس موارد متعددی آموزش داده شده‌اند که می‌توان در حوزه‌های مختلف علمی از آن‌ها استفاده کرد. این درس در رشته‌های برق قدرت و الکترونیک و همچنین برنامه‌نویسی کامپیوتر بسیار مهم هستند. به طور کلی درس آمار و احتمالات در رشته کامپیوتر اهمیت بسیار زیادی دارد. متاسفانه این درس تا حد لازم در رشته کامپیوتر جدی گرفته نمی‌شود. توجه نداشتن به این درس می‌تواند در مقاطع بالاتر موجب ایجاد مشکلات متعددی شود که جبران کردن آن بسیار مشکل است. بهتر است قبل از شرکت در کلاس هر درسی کمی با آن درس آشنایی داشته باشید. از این رو در این مقاله سعی داریم به معرفی درس آمار و احتمالات و همچنین مثال‌هایی از آن بپردازیم. اگر قصد شرکت در کلاس این درس را دارید یا علاقه‌مند هستید به طور کلی اطلاعاتی در رابطه با آن داشته باشید در این مقاله با ما همراه باشید.

درس آمار و احتمالات مهندسی چیست؟

اساسا علم آمار با جمع‌آوری، تجزیه و تفسیر داده‌ها سروکار دارد. در این حوزه روش‌های مختلفی برای تجزیه و تحلیل داده‌ها به کار می‌روند. این روش‌ها کاملا وابسته به نحوه جمع‌آوری اطلاعات هستند. هر نوع عملکردی در رابطه با داده‌ها، منجر به پیش‌بینی یا استنباط‌هایی در رابطه با داده‌های بزرگتر می‌شود. به این نوع از آمار،استنباطی می‌گویند. در حقیقت این نوع از آمار مجموعه‌ای از قوانین و روش‌هایی است که نتیجه را بسیار ساده‌تر می‌کند. همچنین به تفسیر ساده‌تری از طبقه‌بندی و جمع‌آوری داده‌ها منجر می‌شود.

یادگیری آمار و احتمالات مهندسی از طریق کتاب و جزوه کار بسیار مشکلی است. همچنین از آنجایی که این درس در کنکور اهمیت بسیار زیادی دارد قطعا باید به درستی تدریس شود. قطعا در هر حوزه‌ای دانش‌آموزان و دانشجویان از طریق فیلم آموزشی می‌توانند یادگیری بهتری را داشته باشند. اگر شما هم اینطور فکر می‌کنید می‌توانید از فرادرس کمک بگیرید. در حال حاضر بیش از 1500 مدرس در زمینه های مختلف با فرادرس همکاری میکنند؛ همچنین بیش از ۴۲ میلیون ساعت فیلم آموزشی در فرادرس منتشر شده است که می‌توانید از آن‌ها بهره ببرید.

• مجموعه آموزش آمار و احتمالات - کلیک کنید

اصطلاحات تخصصی در حوزه آمار و احتمالات

در درس آمار و احتمالات یک سری اصطلاحات تخصصی وجود دارد که باید با آن‌ها آشنایی لازم را داشته باشید. این مفاهیم اساسی عبارت‌اند از:

۱. جامعه

به طور کلی در آمار جامعه به مجموعه‌ای از افراد و اشیاء گفته می‌شود. البته این اشیاء باید حداقل دارای یک صفت باشد. یک جامعه آماری می‌تواند متنهی یا نامتنهی باشد. همیشه از بین جامعه‌های آماری جامعه‌ای را در نظر می‌گیریم که شمارا باشد. به عنوان مثال دامنه اعداد طبیعی را می‌توان نام برد. در صورتی که جامعه آماری ما متناهی باشد حجم یا اندازه جامعه آماری را با N نشان می‌دهیم. اعضای این جامعه آماری نیز به شکل زیر نمایش داده می‌شود.
به عنوان مثال فرض کنید که جامعه آماری مورد نظر ما شامل اعداد اول، دوم، سوم و چهارم باشد. در این صورت 4=N خواهد بود. همچنین به علت مشخص بودن حجم این جامعه آماری به آن متناهی گفته می‌شود.

۲. نمونه

به هر بخشی از جامعه آماری نمونه می‌گویند. به عنوان مثال فرض کنید که جامعه آماری مورد نظر ما جمعیت مهندسین کامپیوتری است که در سال 1401 فارغ‌التحصیل شده‌اند. در چنین جامعه‌ای تمامی فارغ‌التحصیلانی که نمره بالاتر از 15 را کسب کرده‌اند یک نمونه به حساب می‌آید. اگر نمونه گفته شده دارای اندازه N باشد اعضای نمونه را به شکل زیر نمایش می‌دهیم.

۳. انواع داده های آماری

به طور کلی داده‌های آماری به دو دسته تقسیم می‌شوند. به دسته اول داده‌های خام نیز گفته می‌شود. داده‌های خام به داده‌هایی گفته می‌شود که روز آن‌ها هیچ گونه پردازشی یا دسته‌بندی صورت نگرفته است. به عنوان مثال می‌توان به داده‌های سرشماری اشاره کرد. البته منظور داده‌های آماری قبل از هر گونه پردازش و دسته‌بندی است. دسته دوم داده‌های آماری در حقیقت به داده‌هایی اطلاق می‌شود که حداقل یک پردازش بر روی آن‌ها صورت گرفته است. اگر بخواهیم یک مثال در این رابطه بزنیم می‌توان به طبقه‌بندی داده‌های آماری اشاره کرد. انواع داده‌های آماری از جمله مباحثی است که باید در اموزش آمار و احتمالات مهندسی مورد بررسی قرار بگیرد.

۴. متغیر

متغیر علامتی است که برای نشان دادن یک جامعه آماری استفاده می‌شود. متغیرها تغییرات را از فردی به فرد دیگر و همچنین از شی‌ به شی دیگر نشان می‌دهند. به عنوان مثال مرتب کردن داده‌ها در چند کامپیوتر یک متغیر به حساب می‌آید. علت اصلی این موضوع این است که رایانه‌های مختلف زمان متفاوتی را برای مرتب کردن داده‌ها نیاز دارند. به عنوان مثال قطعا زمانی که یک سرور برای مرتب کردن داده‌ها نیاز دارد نسبت به کامپیوترهای ضعیف شخصی بسیار متفاوت خواهد بود. متغیرها به خودی خود به دو دسته کمی و کیفی تقسیم می‌شوند. متغیرهای کمی، به آن‌هایی گفته می‌شود که قابل اندازه‌گیری باشد و یا برای اندازه‌گیری آن‌ها مقیاس وجود داشته باشد. به عنوان مثال می‌توان به قد و زن اشاره کرد. قطعا قد و وزن قابل اندازه‌گیری هستند. متغیرهای کمی به دو دسته گسسته و پیوسته تقسیم می‌شوند.

متغیر کمی گسسته به متغیرهایی گفته می‌شود که کاملا قابل شمارش هستند. می‌توان به تعداد برنامه‌های یک کامپیوتر، تعداد افراد مسن، تعداد با سوادان، تعداد دانشجویانی که در رشته کامیپوتر تحصیل می‌کنند و ... به عنوان مثال اشاره کرد. متغیرهای کمی پیوسته به آن دسته از متغیرهایی گفته می‌شود که بین هر دو مقدار ممکن بتوان یکی را انتخاب کرد. به عنوان مثال می‌توان به مواردی مانند قد یک شخص، وزن یک شخص، سن یک شخص، سرعت باد و ... اشاره کرد. معمولا در اموزش آمار و احتمالات مهندسی متغیرها باید به صورت گسترده‌ای پوشش داده شوند.

شاخص های گرایش مرکزی

برای مقایسه جامعه‌های آماری و همچنین برای مقایسه‌های مختلف نیاز است که از شاخص‌های گرایش برای افزایش دقت استفاده شود. شاخص‌های عددی برای خصوصیات هر جامعه‌ای یک نیاز به حساب می‌آید. به داده‌های توصیفی که از یک جامعه محاسبه می‌شود پارامتر نامیده می‌شود. همچنین به داده‌های توصیفی که از نمونه محاسبه می‌شود نیز شاخص آماری نامیده می‌شود. شاخص‌های گرایش مرکزی مختلفی وجود دارند که هر کدام دارای ویژگی‌های مربوط به خود هستند. در ادامه به 4 مورد از مهم‌ترین شاخص‌های گرایش مرکزی که شامل میانگین، میانه، نما و چاکراه می‌شوند صحبت خواهیم کرد.

میانگین
به نوعی میانگین یکی از با اهمیت‌ترین شاخص‌های گرایش مرکزی به حساب می‌آید. قطعا باید در اموزش آمار و احتمالات مهندسی میانگین‌ها نیز بررسی شوند. میانگین خود انواع بسیار مختلفی دارد که باید حتما مورد بحث قرار بگیرد. این انواع عبارت‌اند از:

1. میانگین حسابی: فرض کنید که یک جامعه آماری N عضو دارد. این عضو‌ها هر کدام با نماد X نشان داده‌شده‌اند. در چنین حالتی میانگین حسابی از رابطه زیر به دست می‌آید.
   
2. میانگین هندسی: در حقیقت میانگین هندسی از طریق ریشه Nام ضرب n متغیر در یک عدد به دست می‌آید. رابطه زیر برای میانگین مهندسی برقرار است.
   
3. میانگین هارمونیک: برای محاسبه میانگین هارمونیک راه‌های مختلفی وجود دارد. با فرض این که اعداد x1 و x2 و … و xn هستند میانگین هارمونیک به شکل زیر محاسبه می‌شود.
   
4. میانگین پیراسته: این نوع از میانگین‌ها حالت خاصی از میانگین حسابی است به طوری که تعدادی از مشاهدات به علت ناهماهنگ بودن از داده‌ها حذف می‌شوند و باقی داده‌ها با استفاده از میانگین حسابی محاسبه می‌شوند. اگر K تا مشاهده از داده‌ها حذف شده باشند میانگین پیراسته از طریق رابطه زیر به دست می‌آید.
   

میانه
میانه یک مجموعه مورد بررسی دقیقا همان چیزی است که مجموعه را به دو بخش تقسیم می‌کند. این تقسیم طوری است که مقادیر بزرگتر یا مساوی با آن مقدار با مقادیر کوچک تر یا مساوی با آن مقدار دقیقا برابر باشند. برای محاسبه میانه ابتدا داده‌ها را به صورت صعودی مرتب می‌کنیم و دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

• اگر حجم مشاهدات مورد نظر فرد باشد یعنی عدد تعداد آن یک عدد فرد باشد عددی که در میان مشاهدات قرار دارد یک عدد فرد خواهد بود.
  
• اگر حجم مشاهدات مورد نظر زوج باشد میانگین دو عدد میانی را به عنوان میانه در نظر می‌گیریم.
  

نما
نما در خقیقت یک مجموعه عددی است که در آن یک مجموعه بیش از بقیه تکرار شده باشد. یک مجموعه ممکن است بیش از چند نما داشته باشد. همچنین ممکن است فاقد از نما باشد. در حالت‌های مختلفی ممکن است چنین مسئله‌ای اتفاق بیافتد.

چارکها
چارکها به یک مجموعه در حال بررسی گفته می‌شود که به چهار قسمت تقسیم شده است. محاسبه چهارکها همانند میانه می‌باشد. اگر x1 و x2 و … و xn برای چهارک‌ها قابل محاسبه باشد به شکل زیر آن‌ها را محاسبه می‌کنیم. ابتدا مجموعه را مرتب می‌کنیم و سپس میانه چهارک دوم را محاسبه می‌کنیم. میانه را برای بخش سمت چپ و سمت راست انتخاب می‌کنیم و اعداد محاسبه را شده را به ترتیب چهارک اول و سوم نامگذاری می‌کنیم. بنابراین چارک اول کمیتی است که 25 درصد از مشاهدات یا کمتر مساوی آن را در برمی‌گیرد. چارک دوم نیز کمیتی به حساب می‌آید که 50 درصد از مشاهدات را شامل می‌شود. همچنین چارک چهارم هم کمیتی است که 75 درصد از مشاهدات را دربرمی‌گیرد.

• آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار RStudio - مقدماتی
• آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار RStudio - تکمیلی

مثال مرد سنجابی

تا این بخش از اموزش آمار و احتمالات مهندسی به طور کلی با این درس آشنا شدیم. حال می‌خواهیم با یک مثال اهمیت این درس را بیشتر و بهتر برایتان توضیح دهیم. هر چند وقت یک بار محمد متوجه می‌شود که بین ساعت‌های تا 10 تبدیل به سنجاب می‌شود. محمد در این لحظه بسیار خوشحال است چرا که تبدیل به گرگ نمی‌شود و نیازی نیست همسایه‌ها را بخورد. اما از طرفی دیگر سنجاب شدن برای محمد مشکلات زیادی را به همراه دارد. به عنوان مثال ممکن است محمد توسط گربه همسایه زمانی که به یک سنجاب تبدیل شده خورده شود.

بعد از چنین قضایایی محمد سعی می‌کرد درب اتاقش را قفل کند و چند تا گردو کف اتاق خود قرار دهد تا شب‌ها سرگرم بماند. اما محمد سعی کرد یک روش عملی‌تر را برای خودش انتخاب کند تا این مشکل از ریشه حل شود. از این رو یک گزارش روزانه از کارهایی که انجام می‌داد تهیه کرد. اکنون یک ساختار داده طراحی کرده که این اطلاعات را در آن ذخیره کند. گزارش تهیه شده تنها به عدد یا مقادیر بولین و رشته محدود نمی‌شد. این گزارش‌ها باید نشان می‌دادند که محمد در چه ساعاتی به سنجاب تبدیل می‌شد. برای همین محمد از خاصیت اشیاء در جاوااسکریپ استفاده کرد. کدهایی که محمد نوشته بود به شکل زیر بودند:

let journal = [];



function addEntry(events, squirrel) {

journal.push({events, squirrel});



}



addEntry(["work", "touched tree", "pizza", "running",

"television"], false);

addEntry(["work", "ice cream", "cauliflower", "lasagna",

"touched tree", "brushed teeth"], false);

addEntry(["weekend", "cycling", "break", "peanuts",

"beer"], true);

ولی محمد به اطلاعات بسیار بیشتری برای این که بفهمد چرا به سنجاب تبدیل می‌شود احتیاج داشت. به خاطر همین یک مجموعه بزرگ از همین اطلاعات را ایجاد کرد. محمد برای محاسبه ضریب همبستگی دو متغییر بولی از ضریب فی (ϕ) استفاده کرد. مثلا محمد می‌خواست بدونه که آیا پیتزا خوردن باعث این میشه که سنجاب بشه یا نه؟ به خاطر همین محمد اسم جدولی که تعداد دفعات پیتزا خوردن رو توش نوشته بود N گذاشت. همچنین از طریق فرمول زیر ϕ را محاسبه کرد.
اگر بخواهیم بدانیم که آیا تعداد پیتزا خوردن محمد باعث سنجاب شدن اون میشه یا نه باید داده‌های مربوط به پیتزا خوردنش رو درون این فرمول بزاریم. جواب آن ϕ ≈ 0.069 می‌شود که ظاهرا ارتباطی با سنجاب شدن محمد ندارد. برای همین محمد به مدت سه ماه به جمع‌آوری این داده‌ها ادامه داد. بعد از سه ماه یه تابع نوشت که ضریب همبستگی رو برای همه داده‌های جدول محاسبه می‌کرد. محمد تونست بعد از انجام چند باره این آزمایش بر روی هر کدام از اعمال روزانه‌ش و ضریب هبستگی اون‌ها متوجه بشه که علت اصلی تبدیل شدنش به سنجاب خوردن کره بادوم زمینی هستش.

کره بادوم زمینی خیلی گرون بود و محمد با دیدن قیمتش تبدیل به یک سنجاب می‌شد. کدی که محمد با استفاده از جاوا اسکریپت برای محاسبه ضریب هبستگی نوشته بود به شکل زیر بود.

function journalEvents(journal) {

let events = [];

for (let entry of journal) {

for (let event of entry.events) {

if (!events.includes(event)) {

events.push(event);

}

}

}

return events;

}







console.log(journalEvents(JOURNAL));

// → ["carrot", "exercise", "weekend", "bread", …]



همچنین برای پیمایش کردن تک تک رخدادها از حلقه فور و کد زیر استفاده کرده بود.



for (let event of journalEvents(JOURNAL)) {

console.log(event + ":", phi(tableFor(event, JOURNAL)));

}

// → carrot: 0.0140970969

// → exercise: 0.0685994341

// → weekend: 0.1371988681

// → bread: -0.0757554019

// → pudding: -0.0648203724

// and so on...

سخن آخر در اموزش آمار و احتمالات مهندسی

در این مقاله سعی شد به طور کلی به اموزش آمار و احتمالات مهندسی پرداخته شود. جدای از مثال علمی تخیلی که در این مقاله زده شد قطعا علم آمار و احتمالات در موارد متعددی می‌تواند کارساز باشد. در حوزه‌های مختلفی از این علم استفاده می‌شود و حتی جان بسیاری از افراد را از جمله محمد نجات داده است.

اگر علاقه‌مند به یادگیری هر چه بیشتر این علم هستید می‌توانید به فرادرس مراجعه کنید. این منبع فعال آموزشی جذاب به شما کمک می‌کند به بهترین شکل ممکن به درس آمار و احتمالات مهندسی علاقه‌مند شوید و از آن بهره ببرید. اگر از مطالعه این مقاله لذت بردید در بخش نظرات انتقادها و پیشنهادهای خودتان را با ما در میان بگذارید. شاد و موفق و پیروز باشید.

• آموزش محاسبات آماری در اکسل Excel
• آموزش متاآنالیز یا فراتحلیل Meta-Analysis با SPSS