با آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه در خدمتتان هستیم. دوستان عزیز، زمانی که وارد دانشگاه شوید؛ در آنجا مشاهده خواهید کرد که مباحث مهم و پایه‌ای ریاضیات ازجمله: حد، پیوستگی، مجانب، مشتق، انتگرال، مختصات قطبی و غیره در قالب کلاس آموزشی ریاضی عمومی 1 سه واحده، به‌عنوان یک درس پایه‌ای تدریس شده و دانشجویان مجاب هستند؛ در هر رشته‌ مهندسی که تحصیل می‌کنند؛ این واحد درسی را پاس کرده و پشت سر بگذارند. بنابراین خالی از لطف نیست که این پست را مطالعه کرده و با دقت، اشکالات درسی خود را رفع کنید.

مقدمه

همراهان گرامی، از خدا پنهان نیست؛ از شما چه پنهان! زمانی که برای اولین بار، وارد دانشگاه شده و مراحل ثبت‌نام را تکمیل نمودم؛ برگه انتخاب واحد را که به‌دستم دادند؛ خشکم زد و مات و مبهوت برگه انتخاب واحد را نگاه می‌کردم. زمانی که نام ریاضی عمومی 1 به‌چشمم خطور کرد واقعاً تعجب کردم که آیا ما از دست سختی‌های این درس شیرین ریاضی، راحت نخواهیم شد؟! هنوز هم وقتی یاد آن لحظه می‍افتم؛ دچار استرس می‌شوم. چرا که من هم، مثل بسیاری از دانش آموزان یا دانشجویان، ریاضی را به‌صورت پایه‌ای نیاموخته بودم و به‌همین دلیل همواره با مشکل روبرو می‌شدم.

از قدیم گفته‌اند که تجربیاتتان را با نسل جدید درمیان بگذارید تا برایشان درس عبرت شود. عزیزان من، توصیه من به‌شما که دانش آموز دبیرستانی هستید یا تازه وارد دانشگاه شده‌اید این است که ریاضیات را پایه‌ای بیاموزید. منظورم این است که اشکالات پایه‌ای خود را برطرف کنید تا در آینده، مثل من، دچار مشکل نشوید. باور کنید حتی اگر سعی می‌کنید از ریاضیات فرار کنید؛ باز هم در آینده شغلی‌تان، زمانی که مجبور می‌شوید با یک نرم افزار حسابداری کار کنید یا محاسبات سالانه مالیاتی خود را انجام دهید؛ حتماً و حتماً این آموزش‌ها به‌دردتان خورد.

سرفصل های درس ریاضی عمومی 1 دانشگاه

قبل از این که برویم سر اصل مطلب؛ شما را با سرفصل‌های درس ریاضیات عمومی 1 آشنا خواهیم کرد. جانم برایتان بگوید که اگر اساتید بتوانند برنامه زمانبندی خود را به‌درستی رعایت کنند؛ تمام مباحث زیر را در کلاس ریاضی عمومی ترم اولی‌ها تدریس خواهند کرد:

• حد
  
• پیوستگی
  
• مجانب
  
• مشتق
  
• مشتق گیری شامل مباحث مشتق گیری ضمنی، مشتق تابع وارون، مشتق پارامتری، مشتق تابع نمایی و لگاریتمی
  
• آهنگ تغییر شامل مباحث خط های مماس و قائم و تعبیرهای مشتق
  
• کاربردهای مشتق شامل مباحث نقاط بحرانی، اکسترمم، نقطه عطف، اکسترمم های سراسری، قضیه رل، قضیه مقدار میانگین، رسم نمودار تابع، بهینه سازی، کمیت های وابسته
  
• قاعده هوپیتال
  
• انتگرال شامل مباحث: انتگرال نامعین، فرمول های انتگرال، تکنیک تغییر متغیر، تکنیک جزء به جزء، تکنیک تجزیه به کسرهای جزئی
  
• انتگرال معین
  
• انتگرال ناسره یا غیر عادی
  
• کاربردهای انتگرال شامل مباحث حد مجموع، سطح محصور، حجم حاصل از دوران، طول قوس
  
• مختصات قطبی
  
• اعداد مختلط
  
• دنباله و سری
  

البته لازم به‌ذکر است؛ گاهی اتفاق می‌افتد که گروهی از اساتید عزیز، برخی از عناوین و سرفصل‌ها را برحسب نیاز رشته تحصیلی دانشجویان، به‌دلیل کمبود زمان یا هر دلیل دیگری به صلاحدید خودشان حذف می‌کنند. ما هم به ناچار، تاجایی که ظرفیت کلمات پست اجازه دهد؛ در چند بخش مهم، هر سرفصل را توضیح خواهیم داد. همچنین برای یادگیری بیشتر و بهتر، می‌توانید از ویدیوهای آموزشی ریاضیات استفاده نمایید. اما اگر منبع خوب برای دریافت ویدیوهای آموزشی سراغ ندارید، نگران نباشید! ما به شما آموزش‌های فرادرس را پیشنهاد می‌کنیم که به جرئت می‌توان گفت بزرگ‌ترین مجموعه‌های آموزشی به زبان فارسی را داراست. برای دریافت فیلم‌های آموزشی ریاضیات می‌توانید از لینک زیر اقدام کنید:

• مجموعه آموزش ریاضیات — کلیک کنید

بخش اول - حد

فرض کنید شما یک راننده هستید. خودروی سواری شما دچار مشکل شده است. شما به‌ناچار به‌یک مکانیک مراجعه می‌کنید. روشن است که در مکانیکی، برای بیان حالات خودروی خود از کلمات استفاده خواهید کرد. دقیقاً به‌همین شکل، در ریاضیات هم برای بیان حالات تابع از مفهوم حد استفاده خواهیم کرد. به‌این معنا که هرگاه، نزدیکی متغیر تابع به مقدار معلومی مثل x اتفاق افتد یا به‌بیان ساده‌تر متغیر تابع مثل ماهی به‌سمت x لیز بخورد؛ حد اتفاق افتاده است.

آیا با بیان این مفهوم، اکنون می‌توانم بگویم که حد نوعی میل کردن به‌حساب می‌آید؟ مفهوم حد در ریاضیات، با عبارت Lim و با تعریف کلی زیر، نشان داده می‌شود.

بخش دوم - پیوستگی

در جزوه ریاضی عمومی 1، بعد از مفهوم حد، به عبارت پیوستگی خواهید رسید. دوستان و همراهان گرامی، وقتی درمورد پیوستگی صحبت می‌شود؛ بدانید که استادتان می‌خواهد بر روی توابع مانور بدهد. پس در نظر داشته باشید که توابع پیوسته یا Continuous Function به‌آن گروه از توابع گفته می‌شود که در مقادیر خروجی خود تغییرات ناگهانی نداشته باشد. دقیقاً مثل رود که آهسته و پیوسته به‌مسیر خود ادامه می‌دهد. در غیر این صورت، آن تابع ناپیوسته نامیده می‌شود.

در ریاضیات، زمانی می‌توانیم ادعا کنیم تابع f در نقطه x=v پیوسته است که سه شرط زیر، همگی برقرار باشند:

1. تابع در نقطه v تعریف شده باشد.
   
2. حد تابع در v برقرار باشد؛ به این معنا که در نقطه v حد چپ و راست اولاً قابل محاسبه بوده؛ ثانیاً مقادیر برابر برای این دو مفهوم به‌دست آید.
   
3. حد تابع و مقدار تابع، مساوی یکدیگر محاسبه شوند.
   

درحالت کلی، اگر بخواهیم از دید علوم ریاضی، پیوستگی را تعریف کنیم؛ خواهیم داشت:

بخش سوم - مُجانب

مجانب، مبحثی است که دهه هفتادی‌ها برای اولین بار با آن، در کتاب هندسه سال اول دبیرستان آشنا شده بودند. به‌یاد دارم که یکی از سؤالات پایان ترم آن سال بنده، در مورد رسم مجانب قائم بود. در علوم ریاضی مجانب یک منحنی، خطی است افقی یا عمودی یا قائم که فاصله منحنی از آن خط، در بینهایت به صفر نزدیک می‌گردد. برای درک بیشتر، در این بخش از آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه، تعریف ریاضی مجانب قائم در ادامه آورده شده است.

در ادامه، نمودار یک تابع با انواع مجانب‌ها مشاهده خواهید کرد.

بخش چهارم - مشتق

همراهان گرامی، در حین آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه، هر زمان که کسی از شما خواست نرخ تغییرات یک تابع ریاضی را بیابید؛ باید سریع سراغ مشتق‌گیری بروید. به‌این ترتیب که خط مماس منحنی تابع موردنظرتان را بیابید و به‌این ترتیب مسئله را حل کنید. آنالیزورهای ریاضی با مفهوم Derivative به‌خوبی آشنا هستند و می‌دانند که هر جا صحبت از مشتق یا دلتای یک تابع شد؛ باید سریع کاغذ و قلم خود را برداشته و دست به‌کار شوند. به تعریف ریاضی زیر توجه کنید.

بخش پنجم - آهنگ تغییر

بچه‌های سال دوازدهم، به‌خوبی با مفهوم آهنگ تغییر آشنا هستند. می‌دانند که این مفهوم را در ریاضی می‌آموزیم تا در فیزیک به‌کار ببندیم. حتی همین بچه‌های دوازدهم دبیرستان، می‌توانند برای مبحث آهنگ تغییر، انواع مثال‌ها را حل کنند.

اما چرا از فیزیک اسم بردم؟! برای این که می‌خواهم با استفاده از یک مثال فیزیک، شما را با مفهوم آهنگ تغییر آشنا کنم. فرض کنید از تبریز به سمت تهران در حال حرکت هستید. گاهی با ترافیک جاده‌ای برخورد می‌کنید و گاهی هم از سرعت مطمئنه کمتر یا حتی بیشتر، خودروی سواری خود را می‌رانید. اگر از شما بخواهند سرعت متوسط خودروی‌تان را بگویید؛ چه می‌کنید؟ بله! کاملاً درست حدس زده‌اید. برای به‌دست آوردن سرعت متوسط خودرویتان کافی است که مقدار تغییر مکان برحسب کیلومتر را تقسیم بر زمانی کنید که با خودروی خود، طی کرده‌اید. عددی که به‌دست می‌آید؛ همان آهنگ تغییر است. در ادامه، فرمول آهنگ تغییر آورده شده است.

بخش ششم - قاعده هوپیتال

قاعده هوپیتال یا اصطلاحاً لوپیتال، از یک کلمه فرانسوی بهره گرفته شده و در علوم ریاضی، به‌روشی گفته می‌شود که با به‌کار بردن آن روش، می‌توان حد تابع را به‌شرطی که وجود داشته باشد؛ در نقطه‌ای که مقدار آن برابر با
است؛ به‌دست آورد. محققان علوم ریاضی به‌قاعده هوپیتال، به‌عنوان روشی برای رفع ابهام
نگاه می‌کنند.

برای درک بیشتر، دوستان عزیز فرض کنید تابع f کسری باشد. به‌طوری که صورت این کسر برابر تابع h و مخرج آن برابر، تابع g باشد. اگر حد هرکدام از این دو تابع نامبرده، صفر یا بی‌نهایت شود؛ بر طبق قاعده هوپیتال، می‌توان برای رفع ابهام و حل مسئله، از صورت و مخرج، مشتق گرفته؛ حاصل را جای‌گذاری کرده؛ به‌محاسباتمان ادامه داده و حد تابع جدید را در نقطه مدنظر به‌دست آوریم. به مثال زیر، توجه کنید.

بخش هفتم - انتگرال

انتگرال که با نام Integral در سراسر دنیا شناخته شده است؛ با علامت s کشیده نشان داده شده و برای نسبت دادن اعداد به انواع توابع استفاده می‌شود. بنده به‌عنوان یک مدرس ریاضی، بسیار برایم پیش آمده که نیاز بوده؛ برای حل یک مسئله پیچیده محیط، مساحت، مقدار جابجایی و حجم یک نمودار را محاسبه کنم. در این صورت است که انتگرال به‌کمکم آمده است. البته لازم به‌ذکر است که قبل از آموختن انتگرال، باید مشتق‌گیری را به‌درستی آموخته و به‌آن تسلط کافی را پیدا کرده باشید. انتگرال در دو گروه معین و نامعین دسته بندی می‌گردد.

درحالت کلی، انتگرال معین به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود.
درحالت کلی و در شاخه‌های علوم ریاضی، برای نمایش انتگرال نامعین از عبارت زیر کمک می‌گیریم.

بخش هشتم - مختصات قطبی

دانشجویان عزیز، وقتی نام دستگاه مختصات قطبی به‌گوش‌تان میخورد؛ هیچ نگران نباشید. به‌هیچ عنوان با یک دستگاه پیچیده محاسباتی طرف نیستید. فرض کنید یک تابع به‌شما داده شده است و طی یک تمرین ریاضی، از شما خواسته شده که مکان نقاط آن تابع را در یک فضای دوبعدی بیابید. در واقع، دستگاه مختصات قطبی یا Polar coordinate system، یک فضای دوبعدی است که شما طی آن با دانستن زاویه و فاصله نقاط می‌توانید به‌سادگی مکان نقاط تابع موردنظر را در آن فضا مشخص کرده و به‌مسئله مطرح شده؛ پاسخ دهید.

دوستان عزیز، دستگاه مختصات قطبی، برای حل انواع انتگرال‌ها به‌شما کمک کرده و آموزش معادلات دیفرانسیل را برایتان شیرین می‌کند. در شکل زیر، با در دست داشتن فاصله و زوایای موردنظر، مکان دو نقطه قرمز رنگ مشخص شده است.

برای تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس، مجموعه فرمول‌های زیر به‌دردتان خواهد خورد و کار حل مسئله را برای شما عزیزان، آسان‌تر خواهد کرد.

بخش نهم - اعداد مختلط

متأسفانه، من در حین آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه، به دفعات مکرر مشاهده کرده‌ام که بسیاری از دانش آموزان و حتی دانشجویان، اعداد مختلط را دیوهای دو سری تصور می‌کنند که هرگز امکان درک کردن آن‌ها وجود ندارد. عزیزان من، سخت نگیرید. اعدا مختلط ترکیبی جالب از اعداد حقیقی و موهومی هستند که در حالت کلی، به‌صورت زیر (a+ib) تعریف می‌شوند. عدد موهومی i در اینجا ترکیب اعداد حقیقی a و b را کمی پیچیده می‌کند وگرنه اتفاق خاص دیگری در این عبارت، رخ نداده است.

• آموزش محاسبات سریع ریاضی — کلیک کنید

در این بخش از آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه و برای درک بهتر شما عزیزان، مثال‌هایی از اعداد مختلط در ادامه، آورده شده است. این مثال‌ها را عمیق بررسی کنید تا اشکالاتتان کاملاً برطرف شود.

بخش دهم - دنباله

رسیدیم به‌مبحث محبوب من در شاخه علوم ریاضی! دنباله چیست؟ باید در جواب این سؤال بگویم که دنباله یا Sequence گروهی از انواع اعداد و یا اشیا است که در کنار یکدیگر یک مجموعه را تشکیل می‌دهند. البته تشکیل دنباله یک شرط هم دارد و آن شرط این است که باید در داخل مجموعه مفروض، تکرار و ترتیب تعریف شده باشد. به‌عنوان مثال، مجموعه (6,9,12,30) با مجموعه‌های (12,9,9,30) و (6,30,12,9) برابر نیست. در ریاضیات، دنباله به صورت تابعی تعریف می‌شود که دامنه آن تابع، در گروه اعداد طبیعی قرار بگیرد. درحالت کلی، دنباله‌ها به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

دوستان عزیز، در این قسمت از آموزش، لازم می‌دانم که طبقه‌بندی اعداد برای تعیین مرز دقیق گروه‌بندی‌ها و تشکیل دنباله‌هایتان را در ادامه بیاورم.

بخش یازدهم - سری

عزیزان، خسته نباشید. آموزش‌های ساده را برای انتهای مقاله نگه داشته‌ایم تا مثل چایی زمان استراحت، خستگی را از بدنتان رفع کند. ساده‌تر از مبحث دنباله‌ها، آموزش سری است. سری‌ها متناظر با دنباله‌ها نوشته می‌شوند. به این ترتیب که اعضای مجموعه دنباله اعداد موردنظر را جمع زده و حاصل جمع جزئی آن‌ها را در قالب سری بازخورد می‌دهد. برای تعریف سری از نماد سیگما استفاده می‌شود. برای محاسبه سری دنباله‌های متناهی، از فرمول زیر استفاده خواهیم کرد.

برای محاسبه سری دنباله‌های نامتناهی هم از فرمول زیر استفاده خواهیم کرد. پیشنیاز استفاده از این فرمول، آموزش دقیق مبحث حد می‌باشد.
سری‌ها هم در دو گروه همگرا و واگرا گروه بندی می‌شوند و مفهوم آن‌ها به‌این شکل است که اگر حاصل فرمول بالا موجود بود؛ یعنی اگر حد عبارت وجود داشت؛ سری همگرا است وگرنه در غیر این صورت سری واگرا خواهد بود. پس از ارائه آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه می‌خواهیم ویدیو آموزشی حل تست‌های کنکور ارشد ریاضی فرادرس را به شما معرفی کنیم؛ زیرا که اگر بخواهید در کنکور ارشد رتبه خوبی بگیرید مشاهده این آموزش یکی از ضروریات است و موجب تقویت ریاضی پایه شما خواهد شد. برای دریافت این آموزش می‌توانید بر روی لینک زیر کلیک کنید:

• آموزش ریاضی پایه - مرور و حل تست کنکور ارشد — کلیک کنید

کلام آخر در رابطه با آموزش ریاضی عمومی 1 دانشگاه

دوستان و همراهان گرامی، از این که تا پایان این مقاله با ما همراه بودید؛ از شما متشکریم. تمام تلاشمان را کردیم تا در این آموزش به‌طور خلاصه، یک دید کلی از مباحث ریاضیات عمومی 1 به شما بدهیم و مفاهیم ساده‌تری در رابطه با سرفصل‌های موجود، در اختیارتان قرار دهیم. امیدواریم با بررسی مثال‌ها و تمرینات کاربردی، آموخته‌هایتان را تکمیل‌تر کرده و مفاهیم پایه‌ای را به‌درستی بیاموزید تا در آموختن دیگر دروس رشته مهندس درحال تحصیلتان دچار مشکل نشوید. موفق و پیروز باشید.