خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرین 15: حل کردن دستگاه های معادلات با ترسیم نمودار، استفادۀ کاربردی

تمرین 15: حل کردن دستگاه های معادلات با ترسیم نمودار، استفادۀ کاربردی
نویسنده : امیر انصاری
قورباغه ای برای گرفتن یک ملخ پرید. این قورباغه به ماکزیمم ارتفاع \(25\) سانتی متر رسید و مسافت افقی \(100\) سانتی متر را طی کرد. ملخ که در فاصلۀ \(30\) سانتی متری مقابل قورباغه قرار داشت، همزمان با قورباغه شروع به پرش کرد. این ملخ به ماکزیمم ارتفاع \(36\) سانتی متر رسید و مسافت افقی \(48\) سانتی متر را پیمود. جهت پرش این قورباغه و ملخ هر دو یکسان بود.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. فرض کنید موقعیت آغازین پرش قورباغه در مبدأ یک صفحۀ مختصات باشد. نموداری بکشید که اطلاعات داده شده را مدل سازی کند.
  2. معادلۀ درجه دومی را تعیین کنید که ارتفاع این قورباغه را در مقایسه با مسافت افقی طی شده توسط آن مدل سازی کند. همچنین معادلۀ درجه دومی را تعیین کنید که ارتفاع ملخ را در مقایسه با مسافت افقی طی شده توسط آن مدل سازی کند.
  3. دستگاه دو معادلۀ بالا را حل کنید.
  4. پاسخ هایتان را با توجه به محتوای این مسئله تفسیر کنید.

پاسخ



  1. تمرین 15: حل کردن دستگاه های معادلات با ترسیم نمودار، استفادۀ کاربردی
    \(\text{grasshopper}\): ملخ
    \(\text{frog}\): قورباغه
    \(\text{Height}\): ارتفاع
    \(\text{Distance}\): مسافت
    نکته: در صورت مسئله مختصات \(q\) از رأس داده شده است، اما مختصات \(p\) آن مشخص نیست. از آنجا که نقاط آغازین و پایانی پرش قورباغه و ملخ در صورت مسئله مشخص است، با تقسیم فاصلۀ بین این دو نقطه بر \(2\)، به مختصات \(p\) از رأس می رسیم. در واقع از خاصیت متقارن بودن سهمی برای یافتن مختصات رأس \((p,q)\) استفاده کرده ایم.
    در مورد قورباغه:
    $$
    p = \frac{100 - 0 }{2} = \frac{100}{2} = 50
    $$
    در مورد ملخ:
    $$
    p = 30 + \frac{78-30}{2} = 30 + \frac{48}{2} = 30 + 24 = 54
    $$
  2. معادلۀ پرش قورباغه:
    $$
    (p,q) = (50,25)\\
    y=a(x-p)^2+q\\
    y=a(x-50)^2+25\\
    (x,y) = (0,0)\\
    0=a(0-50)^2+25\\
    0=a(-50)^2+25\\
    0=2500a + 25\\
    -25=2500a\\
    \frac{-25}{2500} = a\\
    -0.01 = a\\
    y=-0.01(x-50)^2+25
    $$
    به روش مشابهی به معادلۀ پرش ملخ نیز می رسیم. معادلۀ پرش ملخ:
    $$
    y=-0.0625(x-54)^2+36
    $$

  3. تمرین 15: حل کردن دستگاه های معادلات با ترسیم نمودار، استفادۀ کاربردی

    پاسخ های این دستگاه معادلات: \((40.16,24.03)\) و \((69.36,21.25)\)

  4. پاسخ های این دستگاه معادلات، نقاطی هستند که قورباغه و ملخ داستان ما در طول پرش شان از دو نقطۀ مشترک عبور می کنند، یعنی به لحاظ مسافت و ارتفاع در یک مکان قرار می گیرند. البته باید توجه داشته باشیم که ما در مورد زمان و سرعت ملخ و قورباغه داده هایی را در اختیار نداریم و بنابراین نمی توانیم بگوییم که آیا قورباغه موفق به شکار ملخ خواهد شد یا خیر. اما می توانیم با قاطعیت بگوییم که این قورباغه دو بار شانس این را دارد که ملخ را شکار کند، مشروط بر اینکه در زمان مناسب در جای مناسب قرار داشته باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.