تمرین 16: حل کردن دستگاه های معادلات با ترسیم نمودار، توسعه

ریاضیدان یونانی مناخموس (Menaechmus) (که در حدود $380$ تا $320$ قبل از میلاد مسیح می زیسته است)، یکی از اولین نفراتی بود که دربارۀ سهمی ها نوشت. هدف او حل کردن مسئلۀ معروف "دو برابر کردن مکعب" (doubling the cube) بود. او از تقاطع های منحنی ها برای یافتن $x$ و $y$ به نحوی استفاده کرد تا به $\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a}$ برسد. در این رابطه $a$ اندازۀ ضلع داده شدۀ یک مکعب، و $x$ اندازۀ ضلع مکعبی است که حجم آن دو برابر، مکعب اول است. دو برابر کردن مکعبی که طول ضلع آن برابر با $1$ سانتی متر می باشد، معادل حل کردن $\frac{1}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2}$ می باشد.

از یک دستگاه معادلات استفاده کنید تا به صورت نموداری $\frac{1}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2}$ را حل کنید.
طول تقریبی ضلع مکعبی که حجم آن دو برابر مکعب دیگری با طول ضلع $1$ سانتی متر است، چقدر می باشد؟
پاسخ تان را درست آزمایی کنید.
توضیح دهید که چگونه می توانید از فرمول حجم برای یافتن طول ضلع یک مکعب که حجم آن دو برابر حجم مکعب دیگری به طول ضلع $1$ سانتی متر است، استفاده کنید. چرا مناخموس نمی توانست از این روش برای حل کردن این مسئله استفاده کند؟

آیا می دانستید؟
دوبرابر کردن مکعب یک مسئلۀ کلاسیک در بین ریاضیدانان یونانی می باشد: در این مسئله طول یک لبۀ یک مکعب به شما داده می شود و شما باید مکعب دومی را بسازید که حجم آن دو برابر مکعب اول باشد. مسئله یافتن ساخت و ساز پرگار و خط کش برای ریشۀ سوم $2$ بود. افسانه ها حاکی از آن است که اوراکل (oracle)،پیشگوی بزرگ یونانی ها، درخواست این ساخت و ساز را کرده است تا رضایت خدایان را جلب کند و از طاعون جلوگیری نماید. نام دیگر این مسئلۀ کلاسیک، "مسئلۀ دلیان" (Delian problem) می باشد.

پاسخ

$$
\frac{1}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2}\\[2ex]
\frac{1}{x} = \frac{x}{y}\\
x^2 = y\\[2ex]
\frac{1}{x} = \frac{y}{2}\\
xy = 2\\
y=\frac{2}{x}
$$
دستگاه معادلاتی که به آن می رسیم، دستگاه زیر می باشد:
$$
\begin{cases}
y=x^2\\
y=\frac{2}{x}
\end{cases}
$$

پاسخ این دستگاه $(1.26,1.587)$ می باشد.
$1.26$ سانتی متر
برای درست آزمایی این پاسخ، حجم هر دو مکعب را مقایسه می کنیم.
$$
V=lwh\\
V_1=1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^3\\[2ex]
V_2 = 1.26 \text{ cm} \times 1.26 \text{ cm} \times 1.26 \text{ cm} \approx 2 \text{ cm}^3
$$
$$
V=lwh\\
2=x \cdot x \cdot x\\
2 = x^3\\
\sqrt[3]{2} = x\\
1.26 \approx = x
$$
همان طور که مشاهده کردید، به راحتی به کمک فرمول حجم مکعب، توانستیم به پاسخ تقریبی $1.26$ سانتی متر برسیم. دلیل اینکه مناخموس نمی توانست از این روش برای حل این مسئله استفاده کند، این بود که او مانند ما ماشین حساب در اختیار نداشت که به سادگی ریشۀ سوم عدد $2$ را محاسبه کند.