نویسنده : امیر انصاری

1. دستگاه معادلات زیر را حل کنید.
   
   
   
   
   
   
   $$
   5x-y=10\\
   x^2+x-2y=0
   $$
   
2. پاسخ تان را درست آزمایی کنید.
   

پاسخ

1. روش 1: استفاده از روش جایگزینی

   از آنجا که جملۀ درجه دوم در متغیر \(x\) می باشد، معادلۀ خطی را برای یافتن \(y\) حل کنید.
   $$
   5x-y=10\\
   y=5x-10
   $$
   عبارت \(5x-10\) را به جای متغیر \(y\) در معادلۀ درجه دوم جایگذاری کنید و حاصل را ساده سازی کنید.
   $$
   x^2+x-2y=0\\
   x^2+x-2(\color{red}{5x-10})=0\\
   x^2 -9x+20=0
   $$
   معادلۀ درجه دوم بدست آمده را با روش فاکتورگیری حل کنید.
   $$
   (x-4)(x-5)=0\\
   x=4 \text{ or } x=5
   $$
   این مقادیر را در معادلۀ خطی اصلی جایگذاری کنید تا مقادیر \(y\) متناظر آنها را تعیین کنید.
   وقتی که \(x=4\):
   $$
   5x-y=10\\
   5(\color{red}{4})-y=10\\
   y=10
   $$
   هنگامی که \(x=5\):
   $$
   5x-y=10\\
   5(\color{red}{5}) - y = 10\\
   y=15
   $$
   دو پاسخ این دستگاه عبارت از \((4,10)\) و \((5,15)\) می باشند.
   
   

   روش 2: استفاده از روش حذف

   جملات را با توجه به درجۀ آنها مرتب کنید و زیر هم بچینید.
   از آنجا که جملۀ درجه دوم در متغیر \(x\) می باشد، جملۀ \(y\) را حذف کنید.
   $$
   5x-y=10\\
   x^2 +x - 2y=0
   $$
   عبارت \(5x-y=10\) را در \(-2\) ضرب کنید تا قرینۀ جملۀ \(-2y\) که در عبارت دوم قرار دارد، در عبارت اول ایجاد شود.
   $$
   \color{green}{-2}(5x-y)=\color{green}{-2}(10)\\
   -10x+2y=-20
   $$
   هم اکنون این دو عبارت را با یکدیگر جمع بزنید تا جملۀ دارای متغیر \(y\) حذف شود.
   $$
   \begin{array}{ccccc}
   & -10x & +2y & = & -20\\
   x^2 &+x & -2y & = & 0\\
   \hline
   x^2 & -9x & 0 & = & -20\\
   \to x^2-9x=-20
   \end{array}
   $$
   سپس معادلۀ \(x^2-9x+20=0\) را با روش فاکتورگیری حل کنید. در ادامه مشابه آنچه که در روش جایگزینی انجام دادید، این مقادیر را در معادلۀ خطی اصلی جایگذاری کنید تا مقادیر \(y\) متناظرشان را بدست آورید. خواهید دید که به دو پاسخ \((4,10)\) و \((5,15)\) می رسید.
   
   
2. برای درست آزمایی پاسخ ها، هر کدام از زوج های مرتب را در معادله های اصلی جایگذاری کنید.
   درست آزمایی پاسخ \((4,10)\):
   $$
   5x-y=10\\
   5(\color{red}{4}) - \color{red}{10} = 10\\
   20-10=10\\
   10=10 \text{ ✔️} \\[2ex]
   x^2+x-2y=0\\
   \color{red}{4}^2+\color{red}{4}-2(\color{red}{10}) = 0\\
   16+4-20=0\\
   0=0 \text{ ✔️}
   $$
   درست آزمایی پاسخ \((5,15)\):
   $$
   5x-y=10\\
   5(\color{red}{5}) - \color{red}{15} = 10\\
   25-15=10\\
   10=10 \text{ ✔️} \\[2ex]
   x^2+x-2y=0\\
   \color{red}{5}^2 + \color{red}{5} - 2(\color{red}{15}) = 0\\
   25+5-30 = 0\\
   0=0 \text{ ✔️}
   $$
   هر دو پاسخ صحیح می باشند. دو پاسخ این دستگاه عبارت از \((4,10)\) و \((5,15)\) می باشند.
   

حالا نوبت شماست