با پست آموزشی، ریاضی فیزیک 1 در خدمتتان هستیم. درس ریاضی فیزیک 1، یکی از دروس کاربردی مقطع کارشناسی رشته فیزیک و رشته‌های مهندسی بر پایه فیزیک می‌باشد. علاوه بر آن، از آنجایی که آموختن مباحث آنالیز برداری، مباحث مربوط به دستگاه‌های مختصات، ماتریس یا دترمینان و غیره که از مباحث اصلی درس ریاضی فیزیک 1 هستند؛ آموزش ریاضی عمومی 1 و 2 را برای دانشجویان، آسان خواهد کرد؛ بنابراین مطالعه این پست، چندان هم خالی از لطف نخواهد بود. در ادامه، با ما همراه باشید.

مقدمه

به‌یاد دارم که در زمان دانشجویی، گروهی از بچه‌های خوابگاه بودند که ساعت‌هایی از روزهای پنج‌شنبه هر هفته را برای مطالعه و رفع اشکال دروس پایه، برنامه ریزی می‌کردند. در اتاق مطالعه خوابگاه که جمع می‌شدند؛ هر کس اشکالات مربوط به‌مبحث تعیین شده را می‌پرسید. در آن زمان، بنده متوجه شدم که ریاضی، قواعد مشترکی دارد که فرقی نمی‌کند در قالب چه درسی ارائه شود.

در نتیجه آنچه گفته شد؛ به شما دانشجویان رشته‌های مهندسی و علوم ریاضی توصیه می‌کنم که هرگاه و در هرجایی که دیدید؛ گروهی درباره علوم ریاضی و فیزیک صحبت می‌کنند؛ سعی کنید به‌آن گروه ملحق شده و مباحث مربوطه را بیاموزید. مطمئن باشید که آن مباحث، بعدها به‌کارتان می‌آید.

ریاضی فیزیک 1 پیشنیاز چه درس هایی است؟

گاهی در حل انواع پروژه‌های پیچیده، نیاز است که یک سری از مسائل با استفاده از قوانین فیزیک و به‌کمک معادلات ریاضی حل شود؛ اینجاست که درس ریاضی فیزیک 1 وارد عمل می‌شود. همان طور که از نام آن، پیداست؛ ریاضی فیزیک 1 برای درس ریاضی فیزیک 2 در مقطع کارشناسی پیشنیاز بوده و از جمله منابع کنکور کارشناسی ارشد محسوب می‌شود. علاوه بر آن، برای رشته‌های فیزیک، گرایشات آن و برخی از رشته‌های مهندسی، همنیاز درس الکترومغناطیس بود و به‌عنوان پیشنیاز، برای درس مکانیک سیالات ارائه می‌گردد.

قبل از آموختن ریاضی فیزیک 1 چه باید بکنیم؟

دوستان عزیزم، حال که متوجه شدید ریاضی فیزیک 1 پیشنیاز و همنیاز چه درس‌هایی بوده و موارد استفاده از آن چیست؛ بهتر است بدانید که پیشنیاز خود این درس چه واحدهای آموزشی هستند. در این خصوص، باید به‌اطلاعتان برسانم که ریاضی عمومی 1 و 2 درس‌هایی هستند که باید شما به‌هر کدامشان مسلط باشید تا بتوانید به‌خوبی متوجه مباحث این درس از گروه علوم پایه شوید. اگر قصد دارید ریاضی عمومی 1 و 2 را با ویدیوهای آموزشی فرا بگیرید این بخش از مطلب را از دست ندهید! در این قسمت می‌خواهیم ویدیوهای آموزشی ریاضی فرادرس را به شما معرفی کنیم تا بتوانید به راحتی این دروس را یاد بگیرید.

ریاضی عمومی 1 توسط دکتر فرشید شیرافکن تدریس شده است. ایشان دارای مدرک دکتری تخصصی بیوانفورماتیک هستند و یکی از مدرسین نمونه در رشته ریاضی فیزیک هستند. همچنین درس ریاضی عمومی 2 توسط خانم ریحانه محمدی نژاد تدریس و تهیه شده است. ایشان دانشجوی دکتری تخصصی ریاضی هستند. برای دریافت این آموزش می‌توانید بر روی لینک زیر کلیک نمایید:

• آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد
• آموزش ریاضی عمومی ۲

رئوس مطالب ریاضی فیزیک 1 چیست؟

مباحثی که از طرف وزارت علوم برای درس ریاضی فیزیک 1 تعریف شده است؛ عبارتند از:

• فصل اول: آنالیز برداری با زیرشاخه‌های مولفه‌های دکارتی برداری، بردارهای یکه، چرخش محورهای مختصات، گرادیان، کاربرد گرادیان، انتگرال توابع برداری، قضیه گاووس و غیره.
  
• فصل دوم: دستگاه های مختصات با زیرمجموعه مباحث: دستگاه‌های متعامد و غیرمتعامد، ضرایب متریک، دستگاه‌های مختصات خاص و غیره.
  
• فصل سوم: تحلیل تانسوری با زیرشاخه‌های بردارهای پادوردا و هموردا، تانسورهای مرتبه، ماهیت تابع دلتای کرونکر، جمع و تفریق تانسورها، تانسورهای متقارن و پادمتقارن، ادغام، ضرب مستقیم، شبه تانسور، تانسورهای دوگان و غیردکارتی، مشتقات مختصات خمیده و نماد کریستوفل، عملگرهای دیفرانسیلی تانسوری.
  
• فصل چهارم: دترمینان و ماتریس شامل زیرشاخه‌های بسط لاپلاس برحسب کهاد، ویژگی دترمینان، کاربرد دترمینان در حل معادلات همگن و ناهمگن، ماتریس‌ها و خواص آن‌ها، ضرب ماتریسی یا تانسوری یا مستقیم، ماتریس های خاص و متعامد، زوایای اویلر، تبدیل تشابه، ماتریس های هرمیتی، یکانی و به‌هنجار، قطری سازی و روش‌های مربوط به‌آن.
  

بنده در این آموزش ترجیح می‌دهم بیشتر در مورد مباحث کاربردی به‌روش بخش‌بندی سلیقه‌ای خودم، صحبت کنم. چرا که صرفاً یک پست آموزشی، برای توضیح دادن این حجم از مطالب علوم ریاضی، کافی نیست. پس با اجازه دوستان و همراهان گرامی، در این آموزش به‌بررسی رئوس مطالب با بخش‌بندی ساده‌تر و قابل فهم‌تر بپردازیم و اگر عمری باقی بود؛ در آموزش‌های بعدی، به‌بررسی انواع مثال‌ها و مفاهیم در حالت پیچیده‌تر بپردازیم.

آنالیز برداری

به‌قول آلبرت انیشتین، انواع و اقسام تجربیاتی که داشته‌ایم؛ به‌ما این اجازه را می‌دهند که طبیعت را مصداق ساده‌ترین اندیشه‌های ریاضی قابل تصور بدانیم. بنده، بر این باور هستم که قواعد و قوانین موجود در ریاضیات محض، به‌بشر کمک می‌کند تا قوانین شناخت طبیعت را به‌دست آورد. بردار هم به‌همین شکل، نوعی ابزار سریع، برای درک ارتباط بین پدیده‌ها و فرمول‌های ریاضی بوده و در کنار آن، آنالیز برداری نوعی تندنویسی ریاضیات به‌حساب می‌آید. اگر باور ندارید؛ با ما در ادامه همراه باشید.

بردار چیست؟

بردار را همیشه یک پیکان جهت‌دار فرض کنید که ابتدا و انتهای آن پیکان، برای ما مشخص شده است. به بیان دیگر، بردار یک عنصر از فضای برداری n بُعدی است که داری n مؤلفه و دو مشخصه به‌نام‌های اندازه و جهت بوده و به‌عنوان یک کمیت تغییرناپذیر در آن فضا عمل می‌کند. اندازه بردار، از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

بردار با مؤلفه های دکارتی

دستگاه مختصات دکارتی دوبعدی با دو محور X و Y و به‌صورت مشابه، دستگاه مختصات سه بعدی با سه محور X و Y و Z تعریف می‌شود و برداری با مؤلفه‌های دکارتی خواهدبود که اندازه و جهت آن، در هر کدام از این دستگاه‌های مختصات رسم شود. در شکل‌های زیر، دستگاه‌های مختصات دوبعدی و سه بعدی به‌نمایش گذاشته شده است.

بردار یکه چیست؟

بردار یکه، یک تفاوت کوچک با بردارهای عادی دارد و آن هم این است که اندازه این نوع بردار، واحد است. به‌همین علت است که بردار یکه، نامیده می‌شود. در ادامه، نحوه نمایش بردار یکه و فرمول آن آورده شده است.

چرخش یا دوران محورهای مختصات

در علوم ریاضی و گرایشات فیزیک، دوران محور‌ها به مسائلی در فضای مثلاً دوبعدی اطلاق می‌گردد که در آن، دستگاه مختصات xy به اندازه θ چرخیده یا در اصلاح، دوران پیدا کرده و به x′y′ انتقال می‌یابد. چرخش به اندازه θ می‌تواند ساعتگرد یا پادساعتگرد باشد.

شاید در این مرحله از خود بپرسید که اصلاً این کار به چه دردی می‌خورد؟ عزیزان من، باید در پاسخ به‌این سؤال بگویم که این روش برای تحلیل، بررسی و مطالعه منحنی‌ها و تغییرات آن‌ها، بسیار کاربردی است. مثلاً، مثال راهنمایی کردن خلبان، برای طی کردن هر چه بهتر مسیر هوایی خود، یکی از میلیون‌ها کاربرد این روش است.

گرادیان

به‌یاد دارم که با مبحث گرادیان یا شیب، برای اولین بار در کتاب حسابان دوره دبیرستان آشنا شدم. به‌بیان ساده، گرادیان یک میدان برداری برای تعیین نرخ افزایش تغییرات تابع است. بردار گرادیان تابع، از رابطه زیر به‌دست می‌آید.

مثالی از کاربرد گرادیان

فرض کنید که در یک کارگاه پرورش قارچ، تابع اسکالر دما به‌صورت مؤلفه‌های یک تابع ریاضی، درنظر گرفته شده باشد. توزیع دما در محیط این کارگاه، با استفاده از صفحات دما، بیان شده و هندسه این صفحات هم‌دما با استفاده از روابط گرادیان مورد محاسبه قرار می‌گیرد تا مدیریت آن مکان را در کنترل هرچه بهتر دمای گلخانه و پرورش هرچه مطلوب‌تر قارچ‌ها کمک کند.

انتگرال توابع برداری

خسته نباشید دوستان عزیز! به‌مباحث پایانی فصل اول، نزدیک می‌شویم. همان طور که می‌دانید؛ انتگرال توابع برداری در واقع، یک روش برای اختصاص دادن اعداد به‌توابع برداری فرض می‌شود. برای این منظور، خم v را در نظر بگیرید و توجه کنید که برای اختصاص دادن خم v به‌تابع برداری F از روابط زیر استفاده می‌گردد.

قضیه گاووس در ریاضیات

در دوره 1700 میلادی، یک روز، آموزگاری که از دست شیطنت دانش آموزانش کلافه شده بود؛ از آن‌ها خواست که یک کاغذ و قلم آماده کنند. اعداد یک تا صد را بر روی آن کاغذ نوشته و شروع به‌جمع زدن آن اعداد کنند. آموزگار با خود گمان می‌کرد که دانش آموزان تا آخر جلسه، ساکت خواهند ماند و او پس از آرام شدن جو کلاس، تدریس را ادامه خواهد داد.

• آموزش فیزیک پایه 1 - کلیک کنید

چندی نگذشته بود که یکی از دانش آموزان طی یک روش ابداعی، در طی چند دقیقه، حاصل را به‌دست آورد و آن شخص کسی نبود جز آقای گاووس، ریاضی دان آلمانی! آن روش، بعدها به‌روش جمع گاووس یا روش جمع نامتناهی گاووس معروف شده و از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

در رابطه بالا، ψ یک گروه هم ریخت از نوع گروه جمعی، بر مبنای دایره‌ای به شعاع واحد است.

دستگاه های مختصات

در درس ریاضی فیزیک 1، دو تعریف برای دستگاه مختصات وجود دارد. یکی تعریف ریاضی دستگاه مختصات و دیگری تعریف فیزیکی آن. در تعریف ریاضی دستگاه‌های مختصات، می‌گوییم: دستگاهی که به منظور پوشش دهی تناظر یک به یک مجموعه n عضوی در یک فضای n بعدی تشکیل می‌شود؛ دستگاه مختصات نام دارد اما در تعریف فیزیکی، دستگاهی که در آن، مکان ذرات با استفاده از مختصات محورهای ثابت تعیین می‌شود؛ دستگاه مختصات نام دارد. دستگاه‌های مختصات در دو گروه متعامد و غیر متعامد قرار می‌‌گیرند.

دستگاه‌های متعامد

اگر سطوح تشکیل دهنده در یک دستگاه مختصات، دو به‌دو بر هم عمود باشند؛ آن دستگاه متعامد خواهد بود. به‌شرطی که قوانین زیر در آن برقرار باشد.

در غیر این صورت، دستگاه تشکیل شده، غیرمتعامد خواهد بود.

محاسبه ضرایب متریک

اگر نقطه A و نقطه B دو نقطه از یک دستگاه مختصات متعامد باشند و مختصات هر کدام از آن‌ها به‌شرح زیر باشد؛ خواهیم داشت:

فرض کنید؛ اگر بردار r برابر با بردار مکان باشد؛ با تعریف تابعی به‌نام h با مختصات دستگاه، خواهیم داشت:

دستگاه های مختصات خاص

دو گروه اصلی دستگاه‌های مختصات خاص، کروی و استوانه‌ای هستند. برای بسیاری از دانشجویان، بسیار جالب است که هرکدام از این دستگاه‌های مختصات را بیاموزند. دوستان عزیز، از آن جایی که ممکن است؛ شاید این بخش از آموزش، برای شما هم جالب‌تر از بقیه بخش‌ها باشد. با ما همراه باشید. چرا که در ادامه، به‌توضیح هرکدام از دستگاه‌های مختصات خاص خواهیم پرداخت.

دستگاه مختصات استوانه ای

هرگاه، یک دستگاه مختصات قطبی دو بعدی در فضای سه بعدی تعمیم داده شود؛ یک دستگاه مختصات استوانه‌ای به‌دست خواهد آمد. در شکل زیر، یک دستگاه مختصات استوانه‌ای و تحلیل برداری آن آورده شده است.

در حل مسائل پیچیده، بسیار پیش می‌آید که نیاز باشد؛ پارامترهای دستگاه مختصات استوانه‌ای به دکارتی تبدیل شود. روابط موردنیاز، برای انجام این کار به شرح زیر است.

دستگاه مختصات کروی

این دستگاه، به‌وسیله یک کره به‌مرکز مبدأ و یک شعاع مشخص، از نقطه‌ای که می‌خواهیم مختصات را نمایش دهیم؛ تشکیل می‌گردد. به‌شکل زیر، توجه کنید.

تحلیل تانسوری

تانسور به‌نقطه‌ای در فضای nبعدی اطلاق می‌‌شود که مرتبه آن توسط یک یا چند شاخص مشخص می‌شود و در مباحث مهم فیزیک ازجمله مکانیک سیالات، الاستیسیته و غیره کاربرد دارد. شکل زیر، مفهوم جامعی از تانسور را ارائه می‌دهد.

دترمینان و ماتریس

ماتریس، به‌مجموعه سطر و ستون‌های عبارات ریاضی یا مجموعه‌های ریاضی گفته می‌شود. به‌نحوی که هر سطر یا ستون یک ماتریس، یک بردار را تشکیل دهد. جدول زیر، برای درک بیشتر شما عزیزان، طراحی شده است.

دوستان عزیز، همواره به‌یاد داشته باشید که دترمینان هم برای تعیین معکوس ماتریس استفاده می‌شود. فرمول مربوط به دترمینان یک ماتریس مربعی به‌نام A، در ادامه آورده شده است.

سخن آخر درمورد ریاضی فیزیک 1

همراهان عزیز، از اینکه تا پایان این مقاله، با ما همراه بودید؛ از شما متشکریم. تا جایی که ظرفیت پست، اجازه می‌داد؛ سعی کردیم مباحث را به‌صورت خلاصه‌وار بیان کنیم تا اولاً برای افراد مبتدی قابل فهم باشد و ثانیاً برای سایر دانشجویان هم، مروری بر سرفصل‌های این واحد آموزشی دانشگاه، باشد. برای یادگیری ریاضی پایه به وسیله فیلم‌های آموزشی می‌توانید همچنان از فرادرس که یکی از مجموعه‌های بزرگ آموزشی ایران است استفاده نمایید. این آموزش علاوه بر آموزش ریاضی پایه، دارای مرور و حل تست کنکور ارشد می‌باشد که توسط دکتر فرشید شیرافکن تدریس می‌شود. برای دریافت این آموزش می‌توانید بر روی لینک زیر کلیک نمایید:

آموزش ریاضی پایه - مرور و حل تست کنکور ارشد - کلیک کنید

در آموزش‌های بعدی، مطالب کامل‌تر و جامع‌تری را با شما عزیزان به‌اشتراک گذاشته و مثال‌های کنکوری این درس را حل خواهیم نمود. امیدواریم که این مرحله از آموزش، به‌دردتان بخورد. از این که انتقادات و پیشنهادات خود را با ما در میان می‌گذارید؛ از شما متشکریم. موفق و پیروز باشید.