خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
مثال 5: حل کردن مسئله ای که با یک دستگاه درجه دوم-درجه دوم درگیر شود
در جریان یک بازی بسکتبال، بِن (Ben) یک پرتاب اَلی اوپ (alley-oop) چشمگیر را انجام داد. هم تیمی او لوک (Luke) یک پاس بلند و عالی به سمت سبد ارسال کرد. بِن که مستقیماً در روبروی لوک قرار داشت به هوا پرید و آن را به سمت سبد هدایت کرد. مسیر توپی که توسط لوک پرتاب شده بود را می توان با معادلۀ \(d^2 - 2d +3h=9\) مدل سازی کرد. در این معادله \(d\) فاصلۀ افقی این توپ در واحد متر از مرکز حلقه می باشد. مسیر پرش بن را می توان با معادلۀ \(5d^2 - 10d + h = 0\) مدل سازی کرد. در این معادله \(d\) فاصلۀ افقی او در واحد متر از مرکز حلقه می باشد و \(h\) ارتفاع دستان او از کف زمین بسکتبال در واحد متر می باشد.
تِری (Terri) در یک بازی بیسبال، ضربۀ خوبی با چوب به توپ بیسبال زد. توپ در مسیری که با معادلۀ \(h=-0.1x^2 + 2x\) مدل سازی شده است، حرکت کرد. روث (Ruth) بازیکنی است که مستقیماً در مسیر این توپ قرار دارد. او به سمت توپ می دود و در تلاش برای گرفتن توپ به هوا می پرد. پرش او با معادلۀ \(h=-x^2+39x-378\) مدل سازی شده است. در هر دوی این معادله ها، \(x\) فاصلۀ افقی در واحد متر از هوم پلیت (home plate) (جایگاه توپ زن در بیسیال را هوم پلیت می گویند) می باشد و \(h\) ارتفاع توپ از سطح زمین در واحد متر می باشد.
یادداشت مترجم: پرتاب اَلی اوپ (alley-oop) نوعی پرتاب در بسکتبال است که یک بازیکن به هم تیمی اش پاس می دهد و او به هوا می پرد و قبل از این که به پایش به زمین برسد، در هوا توپ را وارد سبد می کند.
-
این دستگاه معادلات را با روش جبری حل کنید. پاسخ تان را به نزدیک ترین صدم ارائه دهید.
-
نتیجه را تفسیر کنید. چه پیش فرض هایی را در نظر گرفته اید؟
آیا می دانستید؟
در سال \(1891\) در یک کالج کوچک در اسپرینگ فیلد (Springfield) در ماساچوست (Massachusetts)، یک مدرس تربیت بدنیِ کانادایی به نام جیمز نیسمیت (James Naismith) بازی بسکتبال را اختراع کرد. هدف او از اختراع این بازی این بود که در طول زمستان دانش آموزان فعال باشند. بازی اول با یک توپ فوتبال و دو سبد هلو برگزار شد. در این بازی توقف های بی شماری در طول بازی انجام شد تا توپ را بعد از گل شدن، به صورت دستی از سبد خارج کنند.
در سال \(1891\) در یک کالج کوچک در اسپرینگ فیلد (Springfield) در ماساچوست (Massachusetts)، یک مدرس تربیت بدنیِ کانادایی به نام جیمز نیسمیت (James Naismith) بازی بسکتبال را اختراع کرد. هدف او از اختراع این بازی این بود که در طول زمستان دانش آموزان فعال باشند. بازی اول با یک توپ فوتبال و دو سبد هلو برگزار شد. در این بازی توقف های بی شماری در طول بازی انجام شد تا توپ را بعد از گل شدن، به صورت دستی از سبد خارج کنند.
پاسخ
-
دستگاهی که باید حل شود، اینست:
$$
d^2 - 2d +3h =9\\
5d^2 -10d + h = 0
$$
معادلۀ دوم را برای بدست آوردن \(h\) حل کنید. دلیل انتخاب معادلۀ دوم اینست که در آن ضریب جملۀ \(h\) عدد \(1\) می باشد و کار ساده تر است.
$$
h=-5d^2 + 10d
$$
عبارت \(-5d^2 +10d\) را در معادلۀ اول جایگزین \(h\) کنید.
$$
d^2 -2d +3h =9\\
d^2 -2d +3(\color{red}{-5d^2 +10d}) =9\\
d^2 -2d -15d^2 +30d = 9\\
14d^2 -28d+9 = 0
$$
با استفاده از فرمول معادلۀ درجه دوم، این معادله را حل کنید.
این مقادیر \(d\) را در معادلۀ \(h=-5d^2 + 10d\) جایگذاری کنید تا مقدار \(h\) متناظر آن را بیابید.
پاسخ های این دستگاه به نزدیک ترین صدم عبارت از \((0.40,3.21)\) و \((1.60,3.21)\) می باشند.
-
مسیر سهموی توپ و همچنین مسیر سهموی بن در این دو موقعیت یکدیگر را قطع خواهند کرد: در فاصلۀ \(0.40\) متری از سبد و در فاصلۀ \(1.60\) متری از سبد، و در هر دو مورد ارتفاع برابر با \(3.21\) متر می باشد. بن اگر موفق شود در فاصلۀ \(0.40\) متری از سبد توپ را بگیرد، می تواند این پرتاب اَلی اوپ را کامل کند. هر چند این دستگاه دو پاسخ دارد اما به نظر می رسد پاسخ مربوط به فاصلۀ \(1.60\) متری از سبد، پاسخ مناسبی نباشد. چرا که شانس گل کردن توپ نسبت به فاصلۀ \(0.40\) متری، بسیار کم تر است.
این اتفاق ها در صورتی رخ می دهند که بن با زمان بندی مناسبی بپرد و در ضمن به لحاظ فیزیکی قادر به گرفتن و پرتاب توپ باشد و علاوه بر اینها، پرتابش توسط بازیکن مدافعی از تیم حریف، سد نشود.
حالا نوبت شماست
تِری (Terri) در یک بازی بیسبال، ضربۀ خوبی با چوب به توپ بیسبال زد. توپ در مسیری که با معادلۀ \(h=-0.1x^2 + 2x\) مدل سازی شده است، حرکت کرد. روث (Ruth) بازیکنی است که مستقیماً در مسیر این توپ قرار دارد. او به سمت توپ می دود و در تلاش برای گرفتن توپ به هوا می پرد. پرش او با معادلۀ \(h=-x^2+39x-378\) مدل سازی شده است. در هر دوی این معادله ها، \(x\) فاصلۀ افقی در واحد متر از هوم پلیت (home plate) (جایگاه توپ زن در بیسیال را هوم پلیت می گویند) می باشد و \(h\) ارتفاع توپ از سطح زمین در واحد متر می باشد.
-
این دستگاه را با روش جبری حل کنید. پاسخ هایتان را به نزدیک ترین صدم گرد کنید.
-
معانی نقاط تقاطع را توضیح دهید. چه پیش فرض هایی را در نظر گرفته اید؟
یادداشت مترجم: پاسخ حالا نوبت شماست را در قسمت دیدگاه ها درج کنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: