یک مهندس دو طاق قوسی شکل پهلو به پهلو برای نگهداشتن پلی بر فراز یک جاده و رودخانه می سازد. طاق جاده دارای ماکزیمم ارتفاع \(6\) متر و عرض \(16\) متر می باشد. طاق رودخانه دارای ماکزیمم ارتفاع \(8\) متر می باشد، اما عرض آن \(4\) متر کاهش می یابد زیرا طاق رودخانه را بر روی جاده قطع می کند. اگر این تقاطع وجود نمی داشت، عرض طاق رودخانه برابر با \(24\) متر می بود. در محل تقاطع این طاق ها از یک پایۀ نگهدارنده استفاده می شود. این مهندس طرح این طاق ها را در یک جدول مختصات ترسیم می کند. این خانم مهندس مبدأ مختصات را در منتهی الیه سمت چپ جاده در نظر می گیرد.

1. معادله ای که هر کدام از این طاق ها را مدل سازی می کند، تعیین کنید.
   
2. این دستگاه معادلات را حل کنید.
   
3. پاسخ این دستگاه معادلات، چه اطلاعاتی را به این مهندس می دهد؟
   

پاسخ

1. با داشتن مختصات رأس سهمی (vertex) و همچنین داشتن دست کم مختصات یک نقطۀ دیگر بر روی آن سهمی، می توانیم معادلۀ آن را تعیین کنیم.
   معادلۀ طاق اول:
   $$
   \text{vertex: } (\frac{16}{2},6) \to (8,6)\\
   y=a(x-p)^2+q\\
   y=a(x-8)^2+6\\
   \color{red}{0}=a(\color{red}{0}-8)^2+6\\
   0 = 64a +6\\
   -6 = 64a\\
   -\frac{6}{64} = a\\
   -\frac{3}{32} = a\\
   \to y = -\frac{3}{32}(x-8)^2+6
   $$
   معادلۀ طاق دوم:
   بدست آوردن مختصات رأس این سهمی کمی ترفندآمیز است. از روی ماکزیمم ارتفاع این سهمی می دانیم که \(q=8\) می باشد، اما در مورد مختصات \(p\) از رأس: می دانیم که عرض طاق اول \(16\) و عرض طاق دوم (بدون در نظر گرفتن \(4\) واحد کاهش یافته) برابر با \(24\) می باشد. نقطۀ آغاز سهمی دوم برابر با عرض سهمی اول منهای این \(4\) واحد کاهش یافته می باشد، یعنی \(12\). در نتیجه مختصات \(p\) از رأس سهی دوم برابر با \(p=12 + \frac{24}{2} = 24\) می باشد.
   $$
   \text{vertex: } (12 + \frac{24}{2},8) \to (24,8)\\
   y=a(x-p)^2+q\\
   y=a(x-24)^2+8\\
   \text{(x,y): } (0,(16+24-4)) \to (36,0)\\
   \color{red}{0}=a(\color{red}{36}-24)^2+8\\
   0=144a+8\\
   -8=144a\\
   -\frac{1}{18} = a\\
   \to y = -\frac{1}{18}(x-24)^2 + 8
   $$
   
2. در اینجا این دستگاه را هم با روش نموداری و هم با روش جبری حل می کنیم.
   پاسخ این دستگاه \((14.08,2.53)\) می باشد.
   $$
   y = -\frac{3}{32}(x-8)^2+6\\
   y = -\frac{1}{18}(x-24)^2 + 8\\[2ex]
   -\frac{3}{32}(x-8)^2+6 = -\frac{1}{18}(x-24)^2 + 8\\
   -\frac{3}{32}(x^2-16x + 64)+6 = -\frac{1}{18}(x^2 -48x +576) + 8\\
   -\frac{3}{32}x^2 + \frac{3}{2}x - 6 + 6 = -\frac{1}{18}x^2 + \frac{8}{3} x - 32 + 8\\
   -\frac{3}{32}x^2 + \frac{3}{2}x - 6 + 6 + \frac{1}{18}x^2 - \frac{8}{3} x + 32 - 8=0 \\
   -\frac{11}{288} x^2 -\frac{7}{6} x +24=0\\
   x=14.08 \text{ or } x=-44.63\\[2ex]
   y=-\frac{1}{18}(x-24)^2 + 8\\
   y=-\frac{1}{18}(\color{red}{14.08}-24)^2 + 8\\
   \to (14.08,2.53)
   $$
   نکته: در روش جبری به یک پاسخ دیگر هم می رسیم که با توجه به منفی بودن مختصات \(x\) آن و اینکه پاسخ منطقی برای شرایط مسئله نمی باشد، آن را نادیده می گیریم.
   
   
3. پاسخ این دستگاه محل تقاطع این دو طاق و محل قرار گیری و همچنین ارتفاع پایۀ نگهدارنده را به ما نشان می دهد.